Последовательности нестандартного вида

Индукцией докажем, что Для это верно. Предположим, что неравенство выполняется для Тогда:

Аналогично докажем Для это верно. Используя (это следует из предыдущего факта и начальных условий), получаем:

Последовательность возрастает и ограничена:

Следовательно, предел существует(теорема Вейерштрасса).

Преобразуем рекуррентное соотношение для

Суммируя для и подставляя начальные условия () получаем:

При и

Оценим бесконечную сумму, ведь ведь последовательность - возрастает и имеет предел, тогда:

Тогда имеем неравенство:

что равносильно и что и дает оценку ведь