Тема . Последовательности и прогрессии

Последовательности нестандартного вида

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела последовательности и прогрессии

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#130316

Положительные действительные числа $a ,a ,a,...,a 1 2 3 7$ удовлетворяют неравенствам

ai+ aj ≥ai+j

при всех натуральных $i,j,$ таких что $i+ j ≤ 7.$ Найдите наименьшее возможное значение выражения

a1+ a22-+ a33-+ a44-+ a55-+ a66 + a77 ------------a7------------

Источники: ДВИ - 2025, вариант 253, задача 6

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Можно сразу поделить последнюю дробь числителя на a₇, но что делать потом?

Подсказка 2

Попробуем оценить числитель. Приведите его дроби к одному знаменателю.

Подсказка 3

Как воспользоваться условием для aᵢ + aⱼ?

Подсказка 4

Оценим все aᵢ через a₇. Например, a₁ + a₆ ≥ a₇.

Подсказка 5

Вам также может помочь расширение оценки из условия для трех слагаемых. Выведите его, применив 2 раза исходное.

Подсказка 6

Чтобы подобрать пример, надо думать проще. Сколько у нас слагаемых в числителе?

Подсказка 7

Семь. А если знаменатель будет равен семи?

Показать ответ и решение

Так как $a +a ≥ a , i j i+j$ то верно

ai+aj + ak ≥ ai+j + ak ≥ ai+j+k

Приведём первые шесть слагаемых числителя искомого выражения к общему знаменателю и оценим:

a2 a3 a4 a5 a6 a7 60a1+-30a2+-20a3-+15a4+12a5+-10a6 a7 S = a1+ 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 60 + 7

Воспользуемся оценками:

10a6+ 10a1 ≥ 10a7

12a5+ 12a2 ≥ 12a7

15a4+ 15a3 ≥ 15a7

5a3+ 5a2+5a5 ≥ 5a7

8a2 +5⋅8a1 ≥ 8a7

10- 10a1 ≥ 7 a7

Суммируя, получаем

( 10) 60a1+ 30a2+ 20a3+ 15a4 +12a5+ 10a6 ≥ 10+ 12+15+ 5+ 8+ 7 a7

Тогда для всей суммы $S,$ получаем:

( 10) S ≥ a7 1 + 10-+12+-15+5-+8+-7- = a7 7 60

Значит,

a1+ a22+ a33+ a44+ a55+ a66-+ a77- S a7 ------------a7------------= a7 ≥ a7 =1

Такой случай реализуется, например, при $ak =k$ для $k= 1,2,...,7.$ Условие задачи выполняется

ai+aj = i+ j ≥i+ j = ai+j

Тогда искомое выражение

a2- a3- a4- a5- a6 a7 a1+-2-+-3-+-4-+-5-+-6-+-7- a7

принимает значение

( ) 1 1+ 2+ 3 +...+ 7 = 7 =1 7 1 2 3 7 7

Ответ: 1

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse