Тема . Последовательности и прогрессии

Последовательности нестандартного вида

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела последовательности и прогрессии

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#74914

Назовём бесконечную числовую последовательность ${a } n$ стабилизирующейся, если при некотором $k 0$ для всех $k ≥k 0$ выполнено $ak = ak+1.$ Тогда $k0$ назовем временем стабилизации, $ak$ $($ при $k≥ k0)$ — стабильным значением.

Пусть $a,b$ — натуральные числа. Дана последовательность ${xn},$ в которой $x1 = x2 = x3 = a$ и для любого натурального $n$ выполнены равенства

x3n+1 = b⋅x3n−2,x3n+2 = x3n−1∘b

$($ здесь $∘b$ — это операция взятия целой части при делении на $b)$ и

x3n+3 =x3n+ x3n−2 ⋅(x3n− 1(modb))

$($ здесь $(modb)$ — операция взятия остатка от деления на $b).$

Какие из последовательностей ${x3n+1},{x3n+2},{x3n}(n∈ ℕ)$ стабилизируются, и чему равны их стабильные значения? Чему равно время стабилизации последовательности ${x3n}?$

Источники: Иннополис-2022 (см. dovuz.innopolis.university)

Показать ответ и решение

Сначала рассмотрим последовательность ${x }. 3n+1$ По ее определению имеем $x = a⋅bn 3n+1$ для всех целых $n ≥0$ — значит, при $b= 1$ ее стабильное значение равно $a,$ а при $b >1$ она не стабилизируется.

Теперь рассмотрим ${x3n+2}.$ По определению, если $b= 1,$ то $x3n+2 =a$ для всех целых $n≥ 0,$ а если $b> 1,$ то $-a x3n+2 ≤ bn$ и, поскольку последовательность — целочисленная, имеем $x3n+2 =0$ для всех $n,$ начиная с $⌈logba⌉$ (целая часть от логарифма, взятая с избытком).

Докажем по индукции, что

x3n+1⋅x3n+2+ x3n+3 =a2+ a

для всех целых $n ≥ 0.$

База индукции $(n= 0):$

2 x1⋅x2+ x3 =a + a

по определению.

Индукционная гипотеза: пусть для некоторого $m ≥0$ выполнено

2 x3m+1 ⋅x3m+2+ x3m+3 = a + a

Тогда

x ⋅x +x = (b⋅x3m+1)⋅(x3m+2 ∘b)+ 3(m+1)+1 3(m+1)+2 3(m+1)+3

+(x3m+3+ x3m+1 (x3m+2(modb)))= ((b⋅x3m+1)⋅(x3m+2 ∘b)+

2 x3m+1 (x3m+2(modb)))+ x3m+3 =x3m+1 ⋅x3m+2+ x3m+3 = a + a

Что и требовалось доказать.

Наконец, рассмотрим последовательность ${x3n}$ . В силу доказанного выше, если $b=1$ , то все члены последовательности ${x3n}$ равны $a$ , а если $b> 1$ , то

x = x ⋅0+ x =x ⋅x +x = a2+a, 3n+3 3n+1 3n+3 3n+1 3n+2 3n+3

начиная с $n = ⌈logba⌉,$ следовательно, стабильное значение последовательности ${x3n}$ равно $a2+a.$

Ответ:

Последовательность ${x } 3n+1$ стабилизируется на $a$ при $b =1;$ ${x } 3n+2$ стабилизируется на $a$ при $b= 1$ и на $0$ при $b> 1;$ ${x } 3n$ стабилизируется на $a$ при $b= 1,$ начиная с $n= 1,$ и на $2 a + a$ при $b> 1,$ начиная с $n = ⌈logba⌉.$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Последовательности нестандартного вида

Специальные программы

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ