Тема . Последовательности и прогрессии

Последовательности нестандартного вида

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела последовательности и прогрессии
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#80586

В последовательности {x }
  n каждый член, начиная со второго, получается сложением его номера с суммой всех предыдущих членов. Найдите сумму первых ста членов этой последовательности, если x1 = 1  .

Показать ответ и решение

Пусть s
 i  — сумма первых i  элементов. Тогда

xi+1 = i+1 +si

и

si+1 =i+ 1+ 2si

Отсюда

(s   − 2s )− (s − 2s )= s − 3s +2s   =1
 i+1   i    i   i−1    i+1    i   i−1

и

si+1− 4si+ 5si−1− 2si−2 = 0

Значит, нам нужно решить уравнение

x3− 4x2+ 5x− 2= (x− 2)(x2 − 2x+ 1)= (x− 2)(x− 1)2 =0

Тогда si = a2i+b+ cn  . Посчитаем первые члены s1 = 1,s2 = 4,s3 =11  .

Тогда 2a +b+ c= 1,4a+ b+2c= 4,8a+ b+3c= 11  . Отсюда a= 2,b=− 2,c= −1,  и значит,

s100 = 2⋅2100− 2− 100
Ответ:

 2⋅2100 − 2− 100

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!