Последовательности нестандартного вида

Все члены последовательности натуральные, а значит уравнение из условия квадратное. Следовательно, для всех Теперь будем последовательно применять это неравенство:

и так дальше.

Понятно, что в правой части последнего неравенства мы получим выражение для некоторых которые мы сейчас найдём.

В правой части первого неравенства мы имеем Если в правой части - го неравенства будет то в правой части - го обязательно будет (поподробнее про степень двойки написано чуть ниже). Это правда потому, что правую часть - го неравенства мы получаем, применяя неравенство к правой части - го неравенства. Следовательно, в конце при мы получим следующую правую часть:

Теперь про то, как угадать степень двойки в знаменателе. Если в знаменателе правой части -го неравенства четвёрка будет в степени то в правой части - го — в степени Теперь нетрудно установить, что учитывая, что

Следовательно, при

Покажем, что рано или поздно функция перерастёт функцию Понятно, что Рано или поздно станет больше, чем именно в этот момент перерастёт. Таким образом, рано или поздно величина станет меньше а тогда и то есть последовательность не позже этого момента закончится.