Последовательности нестандартного вида

Возьмём на положительной полуоси отрезки промежутки между которыми имеют длину На отрицательной полуоси возьмём симметричные им отрезки. Докажем, что эта система обладает требуемым свойством. Рассмотрим арифметическую прогрессию с положительной разностью Пусть — некоторое положительное число. Выберем так, что Между и расположены выбранные нами отрезки с общей длиной и промежутки с общей длиной (возможно, или ). Ясно, что число целое. Нас интересует случай, когда и попадают в промежутки между выбранными отрезками. В таком случае Пусть — наибольшее целое число, строго меньшее а Ясно, что Если достаточно велико, то общая длина промежутков между выбранными отрезками, лежащих правее меньше В таком случае Ясно также, что Поэтому Полученное противоречие показывает, что или попадает в выбранный отрезок. Если то аналогичные рассуждения можно применить к отрезкам на отрицательной полуоси.