Последовательности нестандартного вида
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Последовательность {
} определена рекурсивно: 
при некотором натуральном 
а также 
Пусть 
Какое максимальное количество подряд идущих простых чисел может быть в последовательности {
}?
Подсказка 1
Для начала рекомендуется заметить что-нибудь про последовательность. Поймите ответ, написав несколько первых членов последовательности при маленьких a. Поймите, что x_i тоже должны быть простыми.
Подсказка 2
Будем доказывать, что ответ 2. Как доказать, что среди трех подряд идущих членов обязательно будет составной? На что он может делиться?
Подсказка 3
Попробуйте доказать, что x_3 | y_2. Воспользуйтесь тем, что x_3 сравнимо с 7 по модулю 8, то есть 2 - квадратичный вычет по модулю x_3.
Пусть 
— максимальное количество подряд идущих простых чисел может быть в последовательности {
}. Без ограничений общности,
можем считать, что данная оценка достигается для подпоследовательности 
Оценка. Докажем, что если при некотором 
число 
— простое, то и число 
— простое. Действительно, пусть 
кратно
некоторому натуральному 
, тогда
что влечет противоречие с простотой числа при 
В частности, если подпоследовательность 
состоит только из простых
чисел, то и подпоследовательность 
состоит лишь из простых чисел.
Теперь докажем, что для каждого нечетного простого числа 
хотя бы одно из чисел 
является составным. Предположим
противное, пусть 
и 
— простые числа, тогда 
тоже простые числа. Поскольку 
нечетно, имеем 
и
следовательно, 
Таким образом, 
является квадратичным вычетом по модулю 
поэтому
для некоторого целого числа 
и, следовательно,
Это означает, что 
т. е. 
Но легко показать, что 
для всех целых 
Противоречие. Тем
самым мы показали, что 
Пример. Если 
то числа 
и 
являются простыми числами.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
