Последовательности нестандартного вида

Пусть — максимальное количество подряд идущих простых чисел может быть в последовательности {}. Без ограничений общности, можем считать, что данная оценка достигается для подпоследовательности

Оценка. Докажем, что если при некотором число — простое, то и число — простое. Действительно, пусть кратно некоторому натуральному , тогда

что влечет противоречие с простотой числа при В частности, если подпоследовательность состоит только из простых чисел, то и подпоследовательность состоит лишь из простых чисел.

Теперь докажем, что для каждого нечетного простого числа хотя бы одно из чисел является составным. Предположим противное, пусть и — простые числа, тогда тоже простые числа. Поскольку нечетно, имеем и следовательно, Таким образом, является квадратичным вычетом по модулю поэтому для некоторого целого числа и, следовательно,

Это означает, что т. е. Но легко показать, что для всех целых Противоречие. Тем самым мы показали, что

Пример. Если то числа и являются простыми числами.