Конструктивы в алгебре

Примером могут служить числа вида где в качестве можно взять любое число, состоящее из одинакового количества всех цифр от до например, любую перестановку цифр где не является первой цифрой.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Замечание. На самом деле, можно показать, что все возможные примеры устроены так. Заметим, что каждая из цифр появляется по разу в разряде единиц у рассматриваемых чисел. Предположим, что наименьшее из чисел на доске заканчивается не нулем, то есть происходит переход через разряд между числами, оканчивающимися на и

Рассмотрим последовательность из 10 подряд идущих натуральных чисел:

Предположим, что в этой последовательности происходит переход через степень (например, от к ). Иными словами, есть числа разной длины. Пусть числа от до имеют цифр, а числа от до – цифр, где Тогда:

• Количество чисел с цифрами:
• Количество чисел с цифрами:

Так как всего 10 чисел:

Общее количество цифр:

По условию, общее число цифр делится на (каждая из 10 цифр встречается одинаковое количество раз), получаем противоречие, ведь не делится на Следовательно, переход невозможен, и все 10 чисел имеют одинаковое количество цифр

Рассмотрим число то есть все разряды исходного без единиц, количества вхождений цифр в эти разряды также равны между собой. Пусть оно имеет вид:

где – это первая с конца цифра не равная 9, тогда

Заметим, что в точно входит каждая цифра, отличная от ведь иначе и имеют больше вхождений: в этом случае у них есть вхождение в некоторые числа не в разряде единиц, а другие его не имеют, поскольку второй переход через разряд в последовательности невозможен. Тогда для них общее количество вхождений в разряды за исключением единиц кратно ведь не меняется при переходе через разряд. Тогда это верно и для всех цифр. Заметим, что среди есть хотя бы одно число не равное или и количество его вхождений в разряды, кроме единиц, по модулю равно количеству чисел либо до перехода через разряд, либо после, то есть не равно противоречие.

Цифра входит суммарно раз, где — количество вхождений в запись то есть в записи всех цифр поровну, тогда последовательность имеет требуемый вид: