Конструктивы в алгебре
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дано натуральное 
Маша записывает по кругу 
натуральных чисел. Далее Тая делает такую операцию: между каждыми двумя
соседними числами 
и 
она пишет некоторый делитель числа 
больший 1; затем Тая стирает исходные числа и получает новый
набор из 
чисел, стоящих по кругу. Всгда ли Тая может выполнять операции таким образом, чтобы через несколько операций все числа
оказались равными?
Источники:
Подсказка 1
Предположим, все числа в круге одинаковой чётности. Что можно сказать о чётности суммы любых двух соседних чисел?
Подсказка 2
В случае, когда все числа нечётные, Тая может победить. Можно ли какие-либо ситуации свести к данной?
Подсказка 3
Допустим, что ни одна сумма соседних чисел не является степенью двойки, как свести данную ситуацию к нечётным числам?
Подсказка 4
Пусть среднее арифметическое s всех чисел не является степенью двойки. Рассмотрим операцию: заменить каждое число на сумму соседей. Можно ли с её помощью уравнять числа в круге?
Подсказка 5
Лемма: После k таких операций числа становятся близки к s · 2ᵏ. Для любого ε > 0 при достаточно большом k все числа попадут в интервал (s − ε)·2ᵏ, (s − ε)·2ᵏ). Как выбрать ε, чтобы этот интервал не содержал целых степеней двойки?
Подсказка 6
Если в наборе есть пара (a, b) с суммой a + b = 2ᵏ (k ≥ 2), мы можем выбрать для неё делитель либо 2, либо 4.
При выборе 2 новое среднее s₁
При выборе 4 новое среднее s₂ = s₁ + 2/n
Почему числа s₁ и s₂ не могут одновременно быть степенями двойки? Может ли Тая победить в данной ситуации?
Подсказка 7
Что делать, если в начальном наборе есть 1?
Будем наращивать множество ситуаций, в которых Тая побеждает (т.е. сможет получить 
равных чисел).
(1) Пусть у нас 
нечётных чисел. Тогда за одну операцию можно получить 
двоек.
(2) Пусть никакая сумма двух соседних чисел не является степенью двойки. Тогда за одну операцию можно получить ситуацию (1).
(3) Пусть среднее арифметическое 
всех чисел не равно степени двойки. Покажем, что сможем прийти к ситуации (2). Воспользуемся
следующей леммой.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Лемма. Пусть 
…, 
— вещественные числа, 
их среднее арифметическое. За один ход меняем набор 
…, 
на
Тогда для любого 
через несколько ходов все числа будут лежать в интервале 
Доказательство леммы. Сделаем переобозначения, пусть
— данные числа, так что
Пусть
Ясно, что после хода 
не увеличится. Достаточно понять, что через некоторое количество 
ходов этот максимум
отклонения станет не более 
для некоторого фиксированного 
Ниже увидим, что можно положить 
и
Через 
ходов у нас будет набор 
…, 
где
Так как
имеем
Отсюда
Аналогично все
что завершает доказательство леммы.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Ясно, что 
Выберем 
так, чтобы интервал (
) целиком помещался между соседними степенями
двойки:
для некоторого натурального 
Будем проводить много раз операцию замены пары соседей на их сумму. Тогда, согласно лемме,
найдётся 
такое, что после 
операций все числа будут лежать в интервале
а значит, в интервале между соседними степенями двойки 
и 
Значит, после 
операции выполнялось условие
(2).
(4) Пусть все числа не меньше 2. Если мы не в ситуации (2), то есть пара соседей 
сумма которых равна 
где 
—
натуральное. Попробуем сделать следующую операцию произвольно, только 
и 
заменим на число 2. Пусть в такой попытке мы не
пришли в ситуацию (3), то есть получили ситуацию, в которой среднее арифметическое 
равно степени двойки. Тогда сделаем другую
попытку, в которой все пары меняются так же, только 
и 
заменяются на 4. По сравнению с первой попыткой 
увеличилось на 
поэтому мы окажемся в ситуации (3).
(5) Пусть набор исходных чисел произвольный. Тогда после одной операции замены пары чисел на сумму имеем ситуацию (4).
да
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
