Конструктивы в алгебре
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Имеются абсолютно точные двухчашечные весы и набор из 
гирь, веса которых равны 
Докажите,
что можно выбрать 10 из них и разложить по 5 гирь на разные чаши весов так, чтобы установилось равновесие.
Источники:
Подсказка 1
Не совсем ясно, как удобнее подобраться к равновесию. Быть может, найти какие-то мини-группы среди гирек, которые уже удобно делить на равные по весу части? Группы на сколько гирек попробуем найти? Раз уж у нас арктангенсы то было бы неплохо как-то от них избавиться, иначе совсем неясно, как с ними работать... С помощью чего это сделаем?
Подсказка 2
Попробуем искать группы по 3, в которых одна гирька уравновешивает две остальные, а от арктангенса избавимся, взяв тангенс от обеих частей равенства, записанного на тройку из гирек arctg(1/n), arctg(1/m) , arctg(1/k) (первые две уравновешивают третью). Что получится после преобразований и как решать получившееся равенство на n, m и k?
Подсказка 3
С помощью преобразований придём к mn - k(n+m) = 1. Выходит, если мы найдем такие k, n, m в промежутке целых чисел от 1 до 50, то задача решена! Как будем это делать?
Подсказка 4
Попробуйте разложить на множители, а далее перебирать k и для него искать m и n (возможно, перебором)
Подсказка 5
Добавьте к обеим частям равенства k², а далее проделайте действия из подсказки 4
Сначала покажем, что в данном наборе есть тройки гирь, одна из которых уравновешивает две другие. Все веса не превосходят 
поэтому равенства
равносильны. Воспользовавшись формулой
получаем, что
Тогда 
Выбирая теперь различные натуральные 
и раскладывая 
на множители, находим подходящие
тройки, в которых каждое число не превосходит 
Результат для 
и 
представлен в следующей таблице:
 |  |  |  |  |  |
 |  |  |  |  |  |
 |  |
Теперь покажем, как разложить гири по чашам:
| 1-я чаша | 2-я чаша | |
 | = |  |
 | = |  |
 | = |  |
(в таблице указано значение 
для гири весом 
Таким образом нам удалось выбрать 10 гирь и разложить по 5 гирь на разные чаши
весов так, чтобы установились равновесие.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
