Конструктивы в алгебре

Первое решение. Введём координаты на нашей прямой. Пусть данные отрезки — это нумерацию отрезков выберем так, что Если при некотором то отрезок содержит и потому отрезки и — искомые. Поэтому в дальнейшем мы считаем, что

Рассмотрим отрезков (некоторые из них могут иметь нулевую длину). Рассмотрим кратчайший из них — пусть для определённости это а его длина равна Тогда

и, аналогично,

Поскольку и имеют общую точку, имеем откуда

Итак, длина отрезка не меньше, чем Иначе говоря, часть этого отрезка, лежащая вне имеет длину, не превосходящую Поэтому отрезки и -искомые.

Второе решение. Пусть данные отрезки — это , Как и в предыдущем решении, мы сводим задачу к случаю, когда точки пронумерованы слева направо, и так же пронумерованы точки

При всех отметим на отрезке точку так, что

Таким образом, точка находится не левее точки Значит, найдётся индекс при котором точка находится не левее точки Выберем такой индекс и положим Заметим, что точки лежат на прямой именно в таком порядке слева направо. Тогда

Это и значит, что длина общей части отрезков и не меньше, чем где — длина одного из них.

Замечание. Нетрудно привести пример попарно пересекающихся отрезков одинаковой длины любые два из которых пересекаются по отрезку длины, не превосходящей