Конструктивы в алгебре

Достаточно найти такую точку , что на любой прямой, проходящей через , лежит не более одной рациональной точки. Тогда, проведя из всевозможные лучи во все рациональные точки и удалив у каждого луча начало (от до соответствующей рациональной точки), получим искомый набор непересекающихся непараллельных лучей.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Можно указать точку явно - например, подойдёт точка . Пусть на прямой, проходящей через эту точку, есть две рациональные точки и ( ) (где рациональные). Тогда вектора ( и пропорциональны, откуда

откуда . Возводя в квадрат и перенося заведомо рациональные слагаемые в левую часть, получим, что будет рациональным число , что возможно только при или . Но из равенства (*) видим, что если выполнено хоть одно из равенств , то выполнено и второе, откуда точки и совпадают.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Можно поступить иначе - доказать существование такой точки . Проведём всевозможные прямые через пары рациональных точек. Таких прямых будет счётное количество. Так как всего направлений на плоскости несчётное количество, на ней найдётся прямая , не параллельная ни одной из проведённых прямых. Проведённые прямые высекают на счётное число точек, а всего на точек несчётное количество, поэтому там ещё останутся точки, любая из них подойдёт в качестве .