Конструктивы в алгебре
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Территория Тридесятого царства состоит из всех целых чисел. Княжеством будем называть множество вида 
, где 
и
некие целые числа (то есть бесконечную в обе стороны арифметическую прогрессию). Царь хочет разделить всю территорию царства,
кроме чисел 3 и 10 , на бесконечное количество непересекающихся княжеств. Возможно ли это?
Источники:
Подсказка 1
Разбить все числа на княжества означает придумать правило, по которому мы их будем добавлять в княжества. Давайте для начала подумаем, чем схожи и чем отличаются числа 3 и 10.
Подсказка 2
Чётное и нечётное, делится на 3 и даёт остаток 1... Давайте попытаемся отдельно разбить чётные и нечётные числа. Одно из ключевых свойств — делимость. Попробуйте разбить все чётные числа кроме 0 (в том числе 10) на непересекающиеся княжества.
Подсказка 3
Для этого можно воспользоваться делимостью — брать число в княжество в том случае, если оно делится на какое-то число, а на другое не делится. Тогда 0 никуда не попадёт!
Подсказка 4
Тут можно поиграться со степенями двойки — брать число в княжество, если оно делится на 2ⁿ, но не делится на 2ⁿ⁺¹. Чему в таком случае будут равны a и b? И останется только придумать, как исключить 3 и 10 при помощи того, что 0 не в княжествах.
Подсказка 5
Выходит, что a = 2ⁿ⁺¹, b = 2ⁿ. А чтобы исключить 3 и 10, нужно сделать "сдвиг" княжеств. Брать число в них не в случае делимости, а в случае каких-то остатков от деления.
Будем отдельно разбивать чётные числа и нечётные, тогда надо дважды разбить прогрессию без одной точки. Покажем, как это сделать
для нечётных: поместим нечётное число 
в княжество 
, если 
кратно 
, но не кратно 
. Для чётных
аналогично.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
