Неравенства с целой и дробной частями
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Существует ли целое 
, удовлетворяющее неравенству
![[√---- √----] [√ ----]
n − 2+ 2 n+ 2 < 9n+ 6?](/api/latex-service/v1/GetSession/122520/index-a696f9fef211dbf005bf52cfdcb84d50.svg)
(Здесь ![[x]](/api/latex-service/v1/GetSession/122520/index-c233fa56b9a0e3c9c6bb475b167ce400.svg)
обозначает целую часть числа 
, то есть наибольшее целое число, не превосходящее 
.)
Источники:
Подсказка 1
Первая мысль, которая возникает при виде этого неравенства, — это избавиться от целых частей, с ними неудобно работать. В конце концов, тут есть корни, если бы можно было в исходном неравенстве убрать целые части, то дальше можно и в квадрат возводить спокойно. Что ж, можно попытаться доказать, что целые части действительно можно убрать...
Подсказка 2
Для этого примените неравенства, возникающие из определения целой части числа. Что ж, дальше попробуем пользоваться возведением в квадрат. И... в итоге получается тривиальное неравенство, не содержащее n :( Что это может значить? Вероятно, надо как-то ещё преобразовать исходное неравенство, чтобы такой способ сработал. Если и пытаться это делать, то для правой части, она выглядит получше. Не поможет ли возведение её в квадрат?
Подсказка 3
Хм, можно оценить, что квадрат правой части (к слову, целой) не больше, чем 9n + 6. Подумаем, а когда в таком неравенстве достигается равенство?
Подсказка 4
Вообще, при равенстве получится, что квадрат целого числа даёт остаток 6 по модулю 9. Стоп, а такое вообще возможно?
Подсказка 5
Нет, квадраты чисел по модулю 9 не дают остаток 6! Более того, остаток 5 они тоже не дают, а вот остаток 4 уже может получиться. А тогда можно оценить правую часть более строго!
Подсказка 6
Действительно, получается, что квадрат правой части на самом деле не больше, чем 9n + 4, давайте преобразуем исходное неравенство, а дальше опять будем возводить в квадрат, остаётся надеяться, что в результате получится более содержательное неравенство
Предположим целое 
удовлетворяет этому неравенству. Имеем
![[√----]2
9n+ 6 ≤ 9n+ 6,](/api/latex-service/v1/GetSession/122521/index-c03314b3d6bb916d19bb54aed32fa7d7.svg)
Но квадрат целого числа не может давать ни остаток 6, ни остаток 5 от деления на 9, значит,
![[√-----]2
9n+ 6 ≤9n+ 4](/api/latex-service/v1/GetSession/122521/index-9dd8f7ceff740a469af55ab15c07cdf2.svg)
![[√-----] [√ ----]
9n+ 6 ≤ 9n +4](/api/latex-service/v1/GetSession/122521/index-3cefde7323a71a283cd446e39d8b3d78.svg)
Тогда исходное неравенство влечёт неравенство
Возводя в квадрат и приводя подобные слагаемые, получаем, что
Однако, прямая проверка показывает, что при 
исходное неравенство не выполняется — противоречие.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
