Тема 2. Задачи на векторы

2.05 Длина вектора

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи на векторы

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#243

Вектор $−−→ MN$ имеет координаты $(6;12),$ а вектор $−−→ NK$ имеет координаты $(9;8).$ Найдите длину вектора $−−→ −−→ MN − NK.$

Показать ответ и решение

Рассмотрим рисунок:

$PIC$

Первая и вторая координаты разности векторов есть разность их первых и разность вторых координат соответственно.

Вектор $−M−N→ − −N−→K$ имеет координаты

(6 − 9;12− 8)= (−3;4)

Тогда длина этого вектора равна

∘ --------- (−3)2+ 42 = 5

Ответ: 5

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#67827

Даны векторы $⃗a(1;2),$ $⃗b(−3;6)$ и $⃗c(4;−2).$ Найдите длину вектора $⃗a− ⃗b+ ⃗c.$

Показать ответ и решение

Найдем координаты вектора $⃗r = ⃗a − ⃗b +⃗c :$

⃗r(1 − (−3)+ 4;2− 6+ (− 2)) =⃗r(8;−6)

Тогда длина вектора $⃗r$ равна

∘ -2------2 √--- l = 8 + (−6) = 100= 10

Ответ: 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#67828

Даны векторы $⃗a(1;7),$ $⃗b(5;−6)$ и $⃗c(− 3;3).$ Найдите длину вектора $⃗a+ ⃗b− 2⃗c.$

Показать ответ и решение

Найдем координаты вектора $⃗r = ⃗a +⃗b − 2⃗c:$

⃗r(1+ 5− 2⋅(−3);7 +(−6)− 2⋅3)= ⃗r(12;− 5)

Тогда длина вектора $⃗r$ равна

∘ -2------2- √ --- l = 12 +(−5) = 169 = 13

Ответ: 13

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#67829

Даны векторы $⃗a(− 10;4),$ $⃗b(0;5)$ и $⃗c(2;6).$ Найдите длину вектора $⃗a +⃗b+⃗c.$

Показать ответ и решение

Найдем координаты вектора $⃗r = ⃗a +⃗b +⃗c :$

⃗r(− 10 +0 + 2;4+ 5+ 6)= ⃗r(−8;15).

Тогда длина вектора $⃗r$ равна

∘----2----2 √--- l = (−8) + 15 = 289= 17.

Ответ: 17

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#68037

Известно, что $⃗a= 3⃗i− 4⃗j,$ где $⃗i(1;0)$ и $⃗j(0;1)$ — координатные векторы в прямоугольной системе координат. Найдите длину вектора $⃗a.$

$xy110⃗i⃗j$

Показать ответ и решение

Так как $⃗i(1;0)$ и $⃗j(0;1)$ — координатные векторы, то из разложения $⃗ ⃗ ⃗a = 3i− 4j$ следует, что в системе координат $xOy$ вектор $⃗a$ имеет координаты $(3;−4).$

Так как система координат прямоугольная, то длина вектора $⃗a(x;y)$ ищется по формуле $∘------ |⃗a|= x2 +y2,$ значит, в нашем случае длина вектора $⃗a$ равна

|⃗a|= ∘32-+(−4)2 = 5

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#68038

Даны векторы $⃗a,$ $⃗b$ и $⃗c,$ причем известно, что $⃗c= ⃗a+ ⃗b,$ длина вектора $⃗a$ равна $1,$ а длина вектора $⃗ b$ равна $2.$ Найдите все возможные целые значения, которые может принимать длина вектора $⃗c.$ В ответ запишите их количество.

Показать ответ и решение

Так как $⃗c =⃗a +⃗b,$ то по правилу треугольника можно расположить эти векторы следующим способом:

$⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗acbacb$

(если $⃗a$ и $⃗b$ коллинеарны)

$⃗a⃗c⃗b$ (если $⃗a$ и $⃗b$ неколлинеарны)

В любом случае мы получаем, что

0 < |⃗c|= |⃗a+ ⃗b|≤ |⃗a|+ |⃗b|= 1+ 2= 3

То есть $|⃗c|∈(0;3],$ следовательно, $|⃗c|$ может принимать три различных целых значения — это $1,$ $2$ или $3.$ Значит, ответ: 3.

Ответ: 3

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#68039

Даны два коллинеарных ненулевых вектора $⃗a$ и $⃗b,$ длины которых равны. Найдите все возможные целые значения, которые может принимать длина вектора $⃗c =⃗a +⃗b.$ В ответ запишите их количество.

Показать ответ и решение

Так как $⃗a$ и $⃗b$ — коллинеарны и их длины равны, то $⃗b= k⋅⃗a,$ где $k$ может принимать значения $− 1$ или $1.$ Значит, имеем:

⃗c= ⃗a+ k⋅⃗a= (1+ k)⋅⃗a

Число $1 + k$ может принимать значения $0$ или $2.$ Следовательно, ответ: 2.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#68040

Даны два различных коллинеарных ненулевых вектора $⃗a$ и $⃗b.$ Найдите все возможные целые значения, которые может принимать длина вектора $⃗ ⃗c= ⃗a+ b.$ В ответ запишите их количество.

Показать ответ и решение

Так как $⃗a$ и $⃗b$ — коллинеарны и их длины неравны, то $⃗b= ±k ⋅⃗a$ для некоторого фиксированного $k ⁄= 0.$ Значит, имеем:

⃗c= ⃗a +(±k ⋅⃗a)= (1 ±k)⋅⃗a

Число $1 ± k$ может принимать значения $1− k$ или $1 +k.$ Следовательно, ответ: 2.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#68046

На координатной плоскости изображены векторы $⃗a$ и $⃗b.$ Найдите длину вектора $⃗ ⃗a −b.$

$xy110⃗a⃗b$

Показать ответ и решение

Найдем координаты векторов $⃗a,$ $⃗b$ и $⃗c =⃗a − ⃗b :$

⃗a= (2;3) ⃗ b= (−4;0,5) ⃗c= (2− (− 4);3− 0,5)= (6;2,5)

Тогда длина вектора $⃗c$ равна

∘ ------- |⃗c|= ∘62-+2,52 = 36 + 25= 4 ∘ 36⋅4+-25- ∘ 169- 13 = ---4----= -4- = 2-= 6,5

Ответ: 6,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#68053

Дан выпуклый четырехугольник $ABCD,$ точки $M$ и $N$ — середины диагоналей $AC$ и $BD$ соответственно. Известно, что длина вектора $−−→ MN$ равна $1.$ Найдите длину вектора $−→ −−→ −−→ −−→ AB +AD +CB +CD.$

$BCDAMN$

Показать ответ и решение

Обозначим $−−A→D = ⃗a,$ $−C−→B = ⃗b.$

$⃗BCDA⃗abMN$

Так как $−A→B − ⃗b+ −−C→D − ⃗a= −A→B + −B−→C + −C−→D + −D−→A = ⃗0,$ то

−A→B + −C−→D = ⃗a +⃗b

Следовательно, нужно найти длину вектора

−→ −−→ −−→ −−→ ⃗p =AB +AD +CB +CD = 2(⃗a+ ⃗b).

Заметим также, что

−−→ −→ −−→ −→ ⃗a+ DB − ⃗b+ CA = ⃗0 ⇔ ⃗a− ⃗b= BD + AC

Но также верно следующее:

( ) −−A→M+ −M−N→+ −N−D→+ −−D→A = ⃗0 ⇔ 1⋅−A→C+ −M−N→+ 1⋅−−B→D− ⃗a= ⃗0 ⇔ 1 ⃗a− ⃗b +−M−N→ −⃗a= ⃗0 2 2 2

Значит,

−−→ ( ) MN = 1 ⃗a+ ⃗b 2

Значит,

⃗p =4−M−N→ ⇒ |⃗p|= 4|−−M→N |= 4⋅1= 4

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#68055

Дан вектор $⃗c= √2-⋅⃗a+ 2⋅⃗b,$ который в прямоугольной системе координат $xOy$ имеет координаты $(1;1).$ Известно, что вектор $⃗a$ коллинеарен вектору $⃗i+ ⃗j,$ а вектор $⃗b$ коллинеарен вектору $⃗i− ⃗j,$ где $⃗i(1;0)$ и $⃗j(0;1)$ — координатные векторы этой системы координат. Найдите длину вектора $⃗d =⃗a+⃗b.$

$⃗⃗xy110ij$

Показать ответ и решение

Рассмотрим координатную плоскость $xOy$ и координатные векторы $⃗i(1;0)$ и $⃗ j(0;1).$ Тогда вектор $⃗c,$ так как его координаты $(1;1),$ выглядит следующим образом (если отложить его от начала координат):

$⃗⃗ xy110ij⃗c$

Следовательно, верно равенство $⃗c=⃗i+⃗j.$

Так как вектор $⃗a$ коллинеарен вектору $⃗i+ ⃗j,$ а вектор $⃗b$ коллинеарен вектору $⃗i− ⃗j,$ то можно представить

⃗a= a(⃗i+ ⃗j) ⃗b= b(⃗i− ⃗j)

где $a,b$ — некоторые числа.

Тогда $√ - ⃗ √- √- ⃗c = 2⃗a+ 2b= ( 2a+ 2b)⃗i+ ( 2a− 2b)⃗j =⃗i+⃗j.$ Следовательно,

( ({ √- |{ √1- √2a +2b= 1 ⇔ a= 2 ( 2a − 2b= 1 |( b= 0

Следовательно, $⃗b= ⃗0.$ Тогда $⃗d= ⃗a= √1-(⃗i+⃗j). 2$ Отсюда

∘ ----- ⃗ 1 1 |d|= 2 + 2 = 1

Ответ: 1

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#68073

Даны неколлинеарные векторы $⃗a,$ $⃗b$ и $⃗c,$ проведенные из одной точки, причем $⃗c$ делит угол между векторами $⃗a$ и $⃗ b$ пополам и равен $⃗ ⃗c= 4⃗a+ b.$ Найдите отношение длины вектора $⃗b$ к длине вектора $⃗a.$

$⃗a⃗b⃗c$

Показать ответ и решение

Рассмотрим $△ABC,$ тогда $CX$ в нем — биссектриса, лежит на векторе $⃗c;$ далее обозначим $−→ CA = ⃗a,$ $−−→ ⃗ CB = b,$ $−−→ CX = k⋅⃗c,$ $k$ — некоторое число. Получаем следующую конструкцию:

$⃗ C⃗aAbBkX⃗ct(⋅⋅1⃗cA−Bt)⋅AB$

Если $X$ делит отрезок $AB$ в таком отношении, что $AX = t⋅AB,$ где $t∈ (0;1),$ и соответственно $BX = (1− t)⋅AB,$ то тогда верно следующее равенство:

−−→ k⋅⃗c= CX =(1− t)⋅⃗a+ t⋅⃗b

Сопоставим это равенство с равенством из условия:

( |{⃗c= 1−-t⋅⃗a+ t ⋅⃗b, | k k (⃗c= 4 ⋅⃗a + 1⋅⃗b,

Так как для каждого вектора существует единственное разложение по заданным векторам, то получаем, что

( ||{ 1−-t= 4 k ⇔ t= k = 1 ||( t= 1 5 k

Следовательно,

|⃗b| CB BX 1− 15 |⃗a| = CA-= AX-- = --1--= 4 посв◟ойств◝у◜биссек◞трисы 5

Значит, ответ $4.$

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#69656

Известно, что $−A→P + −−X→B + −P−→X = −D−→C.$ Найдите длину вектора $−B−→C + −D−→A.$

Показать ответ и решение

Перепишем равенство в виде

−→ −−→ −−→ −−→ AP + PX + XB =DC −−→ −−→ −−→ AX + XB = DC −→ −−→ AB = DC

Следовательно, $AB = DC$ и $AB ∥DC.$ Следовательно, $ABCD$ — параллелограмм. Значит, $−−→ −−→ BC =AD.$ Значит, $−−→ −−→ ⃗ BC + DA = 0.$ А длина нулевого вектора равна нулю.

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#69777

На координатной плоскости даны три точки $A(8;−3),$ $B(5;1)$ и $C(12;0).$ Найдите угол $BAC.$ Ответ дайте в градусах.

$xy110ABC$

Показать ответ и решение

Если даны две точки $A(x1;y1)$ и $B (x2;y2),$ то длина отрезка $AB$ ищется по формуле

∘ -------2---------2 AB = (x1 − x2) + (y1 − y2)

Найдем длины отрезков $AB,$ $BC$ и $AC :$

AB = 5 AC = 5 BC = 5√2

Видим, что имеет место равенство

BC2 = AB2+ AC2

Следовательно, по обратной теореме Пифагора $∠BAC = 90∘.$

Ответ: 90

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#69778

На координатной плоскости даны три точки $A(8;−3),$ $B(5;1)$ и $C(12;0).$ Найдите угол $ABC.$ Ответ дайте в градусах.

$xy110ABC$

Показать ответ и решение

Если даны две точки $A(x1;y1)$ и $B (x2;y2),$ то длина отрезка $AB$ ищется по формуле

∘ -------2---------2 AB = (x1 − x2) + (y1 − y2)

Найдем длины отрезков $AB,$ $BC$ и $AC :$

AB = 5 AC = 5 BC = 5√2

Видим, что выполнено равенство

BC2 = AB2+ AC2

Следовательно, в треугольнике $ABC$ по обратной теореме Пифагора $∠A = 90∘.$ При этом $△ABC$ равнобедренный, следовательно, $∠ABC = 45∘.$

Ответ: 45

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#69814

На координатной плоскости даны точки $E(−3;8)$ и $H(2;− 4).$ Найдите длину вектора $−−→ EH.$

$xy110EH$

Показать ответ и решение

Если $A(x1;y1)$ и $B(x2;y2),$ то длина вектора $−A→B$ равна

AB = |−A→B |= ∘ (x--− x-)2+-(y-− y-)2 1 2 1 2

Следовательно, длина вектора $−E−→H$ равна

|−−E→H |= ∘(−3-− 2)2+-(8+-4)2 = 13

Ответ: 13

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#75891

На координатной плоскости изображены векторы $⃗a,$ $⃗b$ и $⃗c.$ Найдите длину вектора $⃗a+ ⃗b+ ⃗c.$

$110xy⃗a⃗b⃗c$

Показать ответ и решение

Запишем координаты векторов: $⃗a(3;−8),$ $⃗b(−1;−3)$ и $⃗c(10;6).$ Координаты вектора $⃗a+ ⃗b+ ⃗c:$

(3− 1 +10;−8− 3+ 6)= (12;− 5).

Длина вектора $⃗a+⃗b+⃗c:$

⃗ ∘ --2-----2- √ ------- √--- |⃗a + b+⃗c|= 12 + (− 5) = 144+ 25 = 169= 13.

Ответ: 13

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#75895

Даны векторы $⃗a(4;8)$ и $⃗b(− 6;b0).$ Найдите $b0,$ если $|⃗b|= 0,75|⃗a|.$ Если таких значений несколько в ответ запишите меньшее из них.

Показать ответ и решение

Найдем длины векторов:

∘ ------ |⃗a| = 42 + 82 = √80-= 4√5 ∘ ---------- ∘------- |⃗b| = (− 6)2 +b 2 = 36 + b2 0 0

По условию $|⃗b| = 0,75|⃗a|,$ то есть

∘ ------2 √- 36+ b0 = 0,75⋅4 5 2 36 + b0 = 9⋅5 b02 = 45− 36 b02 = 9 b0 = ±3

Выбираем меньшее значение $b = − 3. 0$

Ответ: -3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#67847

На координатной плоскости отмечены точки $A,$ $B$ и $C.$ Найдите длину медианы $AM$ треугольника $ABC.$

$xy110ABC$

Показать ответ и решение

По свойству медианы имеем:

( ) −A−M→ = 1 −A→B + −A→C 2

Найдем координаты точек $A,$ $B,$ $C :$

$pict$

Отсюда получаем

$pict$

Тогда имеем:

−−→ 1 AM = 2 ((4+ 8);(− 5+ 0))= 1 ( 12 5) = 2 (12;−5)= 2-;− 2

Следовательно, длина медианы $AM$ равна

∘-------------- ( 12)2 ( 5)2 13 AM = 2 + − 2 = 2 = 6,5

Ответ: 6,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#89263

На координатной плоскости изображены векторы $⃗a$ и $⃗b,$ координатами которых являются целые числа. Найдите длину вектора $⃗a +3⃗b.$

$110xy⃗a⃗b$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Найдем координаты векторов $⃗a$ и $⃗b :$

$pict$

Тогда

⃗a +3⃗b ={2 +3 ⋅2;3+ 3⋅(−1)}= {8;0}.

Следовательно,

| | ||⃗a+ 3⃗b||= ∘82-+02-=8.

Ответ: 8