Неравенства на Турломе

Разобьем все эти числа на две группы. Число попадает в первую группу, если А иначе попадает во вторую группу. Тогда сумма чисел в первой группе меньше, чем

Тогда сумма чисел во второй группе будет хотя бы Пусть находится во второй группе, тогда, так как все числа положительны:

Значит,

Тогда все слагаемые из второй группы дают вклад в

Который составляет хотя бы половину от суммы всех чисел этой группы, то есть точно больше Следовательно, верно и требуемое.