Последовательности и прогрессии на Высшей пробе
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
По кругу расставлены натуральные числа. Петя поделил каждое из них на натуральное число, ближайшее к среднему геометрическому соседних чисел. Оказалось, что все полученные числа — натуральные. Чему может быть равно наибольшее из них?
Источники:
Подсказка 1
Попробуйте придумать несколько примеров.
Подсказка 2
Нам подойдут, например, (1;1;1), (1;1;2), (1;2;6;2;1). Какие полученные натуральные числа будут для них наибольшими?
Подсказка 3
1, 2 и 3 соответственно. Давайте попробуем доказать, что нельзя получить результат, больший 3.
Подсказка 4
Давайте предположим противное: пусть есть расстановка с отношением хотя бы 4. Попробуйте записать это в общем виде.
Подсказка 5
Пусть мы записали числа a₀, … , aₙ₋₁. Тогда без потери общности мы поделили a₀ на √(aₙ₋₁a₁) и получили хотя бы 4. Какой вывод можно сделать?
Подсказка 6
Одно из чисел корня должно быть хотя бы в 4 раза меньше a₀! Пусть это будет a₁. Попробуйте рассмотреть некоторую последовательность.
Подсказка 7
Пусть xᵢ = aᵢ / aᵢ₊₁. Чему равно произведение всех xᵢ?
Подсказка 8
Оно равно 1. Что это значит?
Подсказка 9
Найдется некоторый xᵢ, меньший 1. Значит, найдется такое j, что xⱼ ≤ 3.
Подсказка 10
Попробуйте доказать, что xⱼ = 3.
Подсказка 11
Для этого можно пойти от противного и предположить, что s — ближайшее целое число к √(aₙ₋₁a₁). Надо будет составить несколько неравенств и получить желаемое.
Подсказка 12
Теперь попробуйте оценить отношение x₀ / xⱼ.
Подсказка 13
Для этого стоит понять, чему равно xₜ / xₜ₊₁.
Подсказка 14
Цепочкой неравенств Вам надо оценить бесконечную геометрическую прогрессию конечной и получить противоречие.
Будем доказывать, что отношение больше 3 не бывает. Предположим противное, пусть есть расстановка с отношением хотя бы 4. И по кругу
стоят числа 
Без потери общности мы поделили 
на 
и получили хотя бы 
Тогда одно из чисел 
и 
хотя бы в 
раза меньше
Можно считать, что
Рассмотрим последовательность
Произведение всех 
равно 
поэтому найдётся 
а, значит, будет первый 
такой что 
Докажем от противного, что 
Пусть ближайшее целое к 
— это 
так как 
делится на 
то
Так как 
ближайшее целое к 
то верно неравенство
Из которого следует
С другой стороны, если 
то
По определению же 
Воспользуемся этими двумя неравенствами
Это противоречие доказывает, что 
Оценим отношение 
Для этого заметим, неравенство
Заметим, что 
делится на 
и если 
то неравенство не выполняется, поэтому 
Из определение 
получаем 
Получили такое числовое неравенство
Воспользуемся неравенством
верного из-за индукции
В последнем неравенстве оценили конечную геометрическую прогрессию бесконечной. Получили противоречие, a, значит, предположение
что отношение может быть больше или равно 
неверно.
Приведём примеры для 
и 
- 1.
-
- 2.
-
- 3.
-
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
