Последовательности и прогрессии на Высшей пробе

Покажем индукцией по , что — это наименьшее натуральное число , для которого .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

База: для удобства будем считать 0 натуральным числом, и все последовательности тоже начинать с нулевого члена. Тогда, во-первых, поскольку , и 0 — первое натуральное число с таким свойством, поскольку оно просто первое. С другой стороны, поскольку и опять же, 0 — первое натуральное число с этим свойством. Итак, .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Переход. Пусть . Тогда для всех натуральных чисел из отрезка имеем из определения . Но тогда . С другой стороны, то есть . Итак, .

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

а). Из приведенных выше рассуждений следует система неравенств (самая левая)

Преобразуем как написано выше, благо все числа положительны. Имеем, что условие выполняется для любого , такого что лежит в полуинтервале .

Отметим, что для решения задачи не обязательно описывать множество всех таких (как сделано выше), достаточно указать одно, например, , и доказать, что оно подходит.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

б) Действуя аналогично, имеем:

Приходим к противоречию, что , что доказывает что такого не существует.