Последовательности и прогрессии на Высшей пробе

Будем называть последовательность, удовлетворяющую условию задачи ПУУЗ.

Заметим, что следующая операция из ПУУЗ делает ПУУЗ: из последовательности выкидываем первый член, а все остальные делим на 2. В самом деле, все члены остались плюс или минус степенями двойки, и положительных все еще бесконечно. Назовем эту операцию сокращением.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Докажем по индукции утверждение: любое натуральное для любой ПУУЗ представляется в виде суммы некоторые ее различных членов.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Докажем что в таком виде представляется 1. В самом деле, у любой ПУУЗ есть положительные члены, пусть первый из них . Тогда заметим что

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Пусть утверждение доказано для всех натуральных чисел, меньших . Рассмотрим и ПУУЗ . Если четное — представим в виде суммы нескольких различных членов сокращения , этому представлению соответствует представление в виде суммы различных членов . Если нечетное -— вычтем из него первый член , (который равен 1 или -1 ) и результат поделим пополам. Мы получили одно из чисел , оно натуральное и строго меньше , значит для него уже доказано, что оно представляется в виде суммы различных членов произвольной ПУУЗ, в частности — сокращения . Снова строим соответствующее представление в виде суммы различных членов .