Теория чисел на Верченко
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Известно, что 
— различные простые числа, и 
Найдите все такие числа 
Ответ
обоснуйте.
Источники:
Подсказка 1
Попробуйте преобразовать равенство так, чтобы оно (возможно, не полностью) красиво разложилось на скобки и мы могли сделать выводы о p.
Подсказка 2
Отлично, теперь мы знаем, чему равно (p-2)(p-4)(p+4). Что так и хочется сделать с p₁, p₂ и p₃, чтобы порассуждать об их значениях?
Подсказка 3
Как воспользоваться простотой чисел?
Подсказка 4
Упорядочим p₁, p₂ и p₃ и каждой скобке присвоим значение!
Подсказка 5
Осталось лишь разобрать случаи, каким же простым может быть p. В этом нам может помочь известная идея из теории чисел, которая помогает решать уравнения в целых числах.
Подсказка 6
Рассмотрите равенство по некоторому модулю!
Так как условие симметрично относительно 
тогда, не умаляя общности, считаем, что 
По условию
Разложим левую часть на множители:
Непосредственной проверкой убеждаемся, что 
Значит, 
Следовательно, числа в левой части равенства различны и
отличны от 
Поэтому 
Поскольку 
на 
не делится, возможны случаи:
- 1.
-
Число
при делении на 
даёт остаток 
Тогда на 
делится число 
Такое возможно только, когда 
так как число 
— простое. Отсюда 
- 2.
-
Число p при делении на
дает остаток 
Тогда на 
делится 
Значит 
что невозможно.
при условии 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
