Теория чисел на Верченко
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Для зашифрования осмысленного слова его буквы заменили числами 
по таблице.
Затем выбирали четные натуральные числа 
и 
и для каждого числа 
из соотношений
нашли целые числа 
и 
.
Потом по формулам
получили числа
(где 
— остаток от деления числа 
на 32), которые вновь заменили буквами согласно таблице:
В результате получили вот что: ЖЯЮЦКР.
Найдите исходное слово, если известно, что оно начинается на букву В.
Источники:
Подсказка 1
Нам надо явным образом связать x и z’ по модулю 32. Давайте тогда вычтем из первого равенство второе, чтобы у нас лишняя переменная y ушла. Тогда как можно связать x и z’?
Подсказка 2
Тогда выходит, что x(1 + q) = z’(1 + p) (mod 32). Если мы выразим (1 + q) через (1 + p) по модулю 32 с некоторыми константными коэффициентами, то мы сможем домножить на это модульное равенство наше равенство выше и после сокращения (1 + q) и (1 + p) в обеих частях мы получим явную связь x и z’. Стоит вспомнить, что мы ещё не использовали условие на первую букву!
Подсказка 3
Давайте теперь возьмем условие для первой буквы и посмотрим, что оно дает. Получается, что (1 + q) = 3(1 + p) (mod 16). Помножим на 3^-1 mod 16, и получим некоторое равенство, где коэффициент теперь у (1 + q). Тогда выходит, что c(1 + q) = (1 + p) (mod 32), где c = 11 или 27. А значит, получили явную связь на x и z’. Осталось проверить дешифровку на осмысленность и задача решена!
Рассмотрим произвольную букву открытого и шифрованного текстов. Для соответствующих им (по таблице) чисел 
и 
выполняются
равенства 
и 
, при некотором 
и 
. При этом по условию 
. Используя свойство сравнений по
модулю целого числа, получим: 
или 
. Для дальнейшего решения будем пользоваться
следующим свойством: если наибольший общий делитель чисел 
и 
равен 
то сравнение 
равносильно
. Используя условие задачи для первой буквы открытого и шифрованного текста, получим равенство
. Заметим, что сравнение 
имеет 2 решения по модулю 
,
. Тогда получим, что 
или 
для каждого 
. Таким образом,
или 
соответственно. Остается воспользоваться полученными соотношениями для остальных
букв.
Осмысленное слово получается только при втором варианте. А значит, исходное слово ВЕКТОР.
ВЕКТОР
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
