Геометрия и комбигео на Верченко
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Четыре компьютера, расположенные в вершинах квадрата 
, соединены прямолинейными отрезками проводов с сервером, который
находится в точке пересечения диагоналей 
. Сторона квадрата равна 2 м. Несложно заметить, что для такого подключения потребуется
метров провода. Чтобы уменьшить длину проводов, вам разрешается передвинуть сервер из точки 
в любую другую
точку 
, а также компьютер из точки 
в любую другую точку 
так, чтобы новая суммарная длина проводов
была как можно меньше. Разрешается компьютеры и сервер размещать в одной точке (например, точка
может совпасть с точкой 
). Компьютеры в вершинах 
двигать нельзя. Чему равно минимальное значение
?
Источники:
Подсказка 1
Что можно сказать о А₁ и O₁? Они совпадают, если мы ищем минимальное значение S(почему?). Тогда пусть А₁ = O₁ = K. Что можно сказать о расположении K? Где она должна лежать?
Подсказка 2
Симметричность расположения точек B и D, подсказывает, что сумма DK + KB наименьшая, когда K лежит на диагонали AC. Предположим обратное. Тогда нам нужна какая-то точка на диагонали, чтобы показать, что для неё S меньше. Какую бы выбрать?
Подсказка 3
Конечно, основание перпендикуляра K на AC, пусть это точка K₁. Если CK > CK₁ (длина наклонной и проекции), то что делать с DK + KB непонятно. Обычно на помощь всегда приходит неравенство треугольника. Но треугольника с необходимыми сторонами нет, значит, его нужно построить!
Подсказка 4
Теперь, когда доказано, что K лежит на диагонали, достаточно обозначит один из отрезков ОK или KC за x. Тогда S превратиться в некоторую функцию от х, у которой нужно будет найти минимум на отрезке [0; √2].
Заметим, что точки 
и 
совпадают.
Действительно, пусть минимум достигается на конфигурации, где это не так. Но тогда, сдвинув точку 
в точку
, мы длину проводов уменьшим. Таким образом, компьютер 
и сервер 
должны оказаться в некоторой точке
Покажем, что 
лежит на диагонали 
.
Предположим обратное. Пусть 
— основание перпендикуляра, опущенного из точки 
на прямую 
. Покажем, что сумма
расстояний от точки 
до вершин 
, которую обозначим 
, меньше аналогичной суммы
. Длина проекции меньше длины наклонной, поэтому 
. Чтобы доказать, что
отразим отрезок 
относительно прямой 
(при этом точка 
перейдет в точку 
, точка 
— в точку 
).
.jpg)
Точки 
окажутся на одной прямой. Тогда 
, и при этом 
.
Неравенство (1) доказано. Следовательно, 
, а значит, искомая точка 
должна лежать на диагонали.
Пусть 
. Рассмотрим функцию
.jpg)
На отрезке ![[0;√2]](/api/latex-service/v1/GetSession/179184/index-b5230092194ce203885040cf9bb99040.svg)
функция 
принимает минимальное значение в точке 
а само минимальное значение
равно
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
