Тема Межрегиональная им. И. Я. Верченко (криптография)

Алгебра и многочлены на Верченко

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела межрегиональная им. и. я. верченко (криптография)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#68241

Пусть $x =(x ,...,x ) 1 8$ — двоичный вектор длины 8. Обозначим $xd$ — циклический сдвиг вектора $x$ на $d$ позиций вправо. Например, если $x =(1,0,0,0,0,0,0,0),$ то $2 x = (0,0,1,0,0,0,0,0).$ При этом считаем, что $0 x = x.$ Под суммой векторов $x= (x1,...,x4)$ и $y =(y1,...,y4)$ будем понимать вектор

x +y =(x1⊕ y1,x2⊕ y2,x3⊕ y3,x4⊕ y4)

Здесь $⊕$ — стандартная операция сложения битов: $0 ⊕0 =1⊕ 1= 0,$ $0⊕ 1= 1⊕0 =1.$ Пусть

1 4 x= v+ v + v

Найдите $d1,...,dn$ такие, что при любом исходном векторе $v$ выполняется равенство

v =xd1 + ⋅⋅⋅+ xdn

Источники: Верченко-2023 (см. v-olymp.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Пупупу… Какие-то непонятные векторы, с которыми работать не очень понятно как, да и просто непривычно! На что можно заменить любой вектор, чтобы с этим было удобнее работать?

Подсказка 2

Да, можно заменить любой вектор длины a на многочлен, степени одночленов которого — это числа от 0 до a(включительно)! Подумайте, как можно отобразить операцию циклического сдвига на многочлене?

Подсказка 3

Верно, можно просто умножать все его на одночлены на степень, равную величине сдвига и после этого от каждой степени оставлять только остаток по модулю длины вектора! Тогда какому многочлену соответствует вектор x?

Подсказка 4

Да, это многочлен, который состоит из одночленов со степенями 0, 1, 4. А какое условие должно выполняться, чтобы мы нашли многочлен v?

Подсказка 5

Верно, нужно, чтобы произведение многочлена x на многочлен v равнялось единице(учитывая, что можно заменять степени на остаток по модулю введённой степени многочлена)! Осталось найти такой многочлен v, для которого это выполняется!

Показать ответ и решение

Заметим, что $xd+8n = xd$ для любого натурального числа $n$ . Вектору $x = (x ,...,x) 1 8$ взаимно однозначно соответствует многочлен

7 8 x(t)= x1+ x2t+ ...+ x7t + x8t

Тогда циклический сдвиг вектора $x$ на $d$ позиций вправо равносилен умножению многочлена $x(t)$ на $td$ и приведению степеней мономов по модулю $8$ .

Вектору $x =v +v1 +v4$ соответствует многочлен $x(t)= 1+ t+ t4$ . Таким образом, нахождение $d ,...,d 1 n$ таких, что $v =xd1 +...+ xdn$ равносильно нахождению многочлена $v(t)= td1 +...+ tdn$ со свойством $x(t)v(t)= 1$ (с учётом приведения степеней мономов по модулю $8$ ). Найти многочлен $v(t)$ можно методом неопределённых коэффициентов, но быстрее из следующего алгоритма: