Общая точка, прямая, покрытие. Теорема Хелли

(a) Рассмотрим прямую, перпендикулярную нашему направлению. Спроецируем ортогонально все наши фигуры на эту прямую. Заметим, что проекция каждой нашей фигуры является интервалом (возможно бесконечный, также допускаются полуоткрытые или открытые интервалы). Заметим, что теорема Хелли для прямой работает также и для наших проекций (все рассуждения аналогичны). Тогда все наши проекции имеют общую точку Восстановив перпендикуляр к точке получем прямую нужного направления, пересекающую все наши фигуры.

(b) Рассмотрим фиксированную точку Выберем произвольную прямую, не проходящую через Спроецируем на нее через точку все наши фигуры. Получим ту же конструкцию, что и в предыдущем пункте. Опять же по теореме Хелли для прямой все наши проекции имеют общею точку Тогда прямая — искомая.