Общая точка, прямая, покрытие. Теорема Хелли

Для каждой точки из данных рассмотрим круг с центром в и радиусом Докажем, что любые три таких круга имеют общую точку. Рассмотрим три точки и соответствующие им круги. Предположим, что они не имеют общей точки. Тогда начнем удалять точку от точки по прямой пока расстояние между какими-то двумя точками не станет равным Заметим, что от такого действия общая точка появится не может, поскольку не изменяется, а только уменьшается (является подмножеством исходного). Таким образом мы добились того, что одна из сторон или стала равна Не нарушая общности, пусть Далее аналогично двигаем точку от точки и получаем, что уже две стороны треугольника равны Пусть Теперь вращаем точку относительно так, чтобы она стала как можно дальше от Таким образом получим, что можно считать, что треугольник — равносторонний. Но в этом случае наши три круга имеют общую точку. Ей будет центр описанной окружности треугольника Тогда и в исходном треугольнике круги имели общую точку — противоречие.

Значит, любые три круга действительно пересекаются в одной точке. Тогда по теореме Хелли все круги имеют общую точку Но тогда все наши точки лежат в круге с центром и радиусом что и требовалось.