Заметим, что если какие-то три точки встретились вместе только один раз, то и все остальные точки также должны были в этот момент времени с ними встретиться. Если же одни и те же три точки встретились хотя бы два раза, то они будут встречаться бесконечно много раз, причем времена их встреч образуют арифметическую прогрессию. Поэтому докажем следующую лемму, откуда будет следовать утверждение задачи.
Лемма
Пусть $A1,A2,...,An$ — арифметические прогрессии с натуральными разностями $d1,d2,...,dn,$ причем любые две из них пересекаются. Тогда найдется число, принадлежащее множеству значений всех этих прогрессий.

Доказательство
Индукция по числу прогрессий. База для $n= 2$ прогрессий очевидна. Докажем переход от $n$ к $n+ 1.$ Не умаляя общности (и по индукционному предположению) можно считать, что прогрессии $A1,A2,...,An$ начинаются с нуля. Пусть $d= HOK (d1,d2,...,dn− 1).$ Поскольку прогрессии $An+1,A1,A2,...,An −1$ имеют общую точку, мы можем считать, что первый член прогрессии $An+1$ равен $ad$ (где $a$ — некоторое натуральное число). А поскольку прогрессии $An$ и $An+1$ тоже пресекаются, прогрессия $An+1$ должна содержать число вида $bdn$ . Если $ad= bdn,$ то мы нашли общую точку всех прогрессий. В противном случае прогрессия $An+1$ содержит все числа вида

ad+ k(bdn − ad)= kbdn− (k− 1)ad

По китайской теореме об остатках существует число $k,$ которое делится на $d∕$ НОД $(d,dn)$ и имеет остаток 1 при делении на
$dn∕$ НОД $(d,dn).$ При таком $k$ соответствующий член прогрессии $An+1$ делится и на $d,$ и на $dn,$ т.е. принадлежит множеству значений всех прогрессий.
Покажем, как из леммы следует утверждение задачи. Зафиксируем пару точек $A$ и $B$ и запустим отсчет времени с момента какой-нибудь их встречи. Пусть в следующий раз они встретились через $t$ секунд, тогда далее все их встречи будут происходить в моменты времени $kt,$ где $k∈ ℕ.$ Для каждой точки $C$ моменты ее встреч с парой $A,$ $B$ образуют арифметическую прогрессию $t(RC + nQC)$ (здесь $tRC$ — момент их первой совместной встречи, $tQC$ — интервал между двумя последовательными встречами, $QC ∈ℕ$ ). По условию точки $A,B,C$ и $D$ встретятся вместе, поэтому прогрессии $RC + nQC$ и $RD+ nQD$ пересекаются для любой пары точек $C$ и $D.$ Тогда, согласно лемме, у всех таких прогрессий есть общая точка $P.$ Значит, в момент времени $tP$ все точки встретятся вместе.

Общая точка, прямая, покрытие. Теорема Хелли