Комбинаторика на БИБНе

Пусть — данный прямоугольник. Без ограничения общности можно считать, что — начало координат: иначе сместим начало координат в точку а в конце сделаем сдвиг на целочисленный вектор Обозначим векторы где , — целые числа. Поскольку и взаимно перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю, т.е. (этот факт также следует из соотношения для угловых коэффициентов перпендикулярных прямых и ).

Рассмотрим сначала случай, когда и не взаимно просты. Тогда НОД( В этом случае рассмотрим на стороне промежуточные точки где Проведём через точки прямые, параллельные стороне Они пересекут сторону в точках где

Таким образом, точки и имеют целочисленные координаты и тем самым, прямые разбивают прямоугольник на прямоугольников с целочисленными вершинами. Назовем это разбиением первого типа.

Аналогично, если и не взаимно просты, то прямыми, параллельными стороне разобьем на меньшие прямоугольники с целочисленными вершинами. Назовем это разбиением второго типа; прямые этого разбиения проходят через промежуточные точки на стороне где а — наибольший общий делитель и Заметим, что в случае, когда одновременно и прямые первого и второго разбиений разбивают прямоугольник на равных прямоугольников с вершинами в точках где т.е. все вершины имеют целочисленные координаты.

Итак, приходим к случаю, когда координаты каждого из векторов взаимно просты. Но тогда из равенства получим, что (действительно, из этого равенства следует, что делится на и, в то же время, делится на значит, аналогично, с учетом знака в данном равенстве). В этом случае стороны прямоугольника равны: и наш прямоугольник квадрат.