Планиметрия на Питергоре

Из условия сразу следует, что . Кроме этого, если — центр вписанной окружности, то . Из этих равенств сразу следует, что . Поскольку прямая — внешняя биссектриса угла , угол , и поэтому

Таким образом, и . Это значит, что четырехугольник — равнобедренная трапеция. Поэтому серединный перпендикуляр к отрезку совпадает с серединным перпендикуляром к отрезку . Последний по лемме о трезубце проходит через середину дуги описанной окружности треугольника. Аналогично, через проходит и серединный перпендикуляр к отрезку

Осталось понять, почему через проходит серединный перпендикуляр к отрезку . Отметим на продолжении отрезка за точку такую точку , для которой . Иными словами, — прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине . По уже упоминавшейся лемме о трезубце, точка — середина его гипотенузы . Следовательно, она лежит на серединном перпендикуляре совпадающем с серединным перпендикуляром к отрезку