Планиметрия на Питергоре
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Точка 
— центр вневписанной окружности треугольника 
касающейся стороны 
в точке 
а точка 
диаметрально
противоположна точке 
на описанной окружности этого треугольника. На отрезках 
выбраны точки 
соответственно таким образом, что 
где r — радиус вписанной окружности треугольника 
Докажите, что точки
лежат на одной окружности.
Подсказка 1
У нас в условии есть центры вписанной и вневписанной окружностей - попробуем посчитать какие-то углы, найти равные…хочется еще равные отрезки как-то использовать, не так ли? Еще заметим, что точки Z, T у нас практически одинаковы по построению, поэтому будет досрочно сделать выводы для одной из них, а потом произнести волшебное «аналогично». Не понятно, как подобраться к углам требуемого «вписанного» четырехугольника, поэтому попробуем доказать, что серединные перпендикуляры к его стороны пересекаются в одной точке.
Подсказка 2
С помощью подсказки 1, учитывая, что угол АВА´ прямой, приходим к тому, что ZBIaY равнобедренная трапеция! Что мы тогда может сказать о серединной перпендикуляре к ZY? А к BIa? Серединный перпендикуляр к последнему отрезку несложно найти с помощью известной леммы, которая ищет такую точку W, что WB = WIa. Аналогичные действия проделывает и с точкой T)
Подсказка 3
Серединные перпендикуляры к ZY и YT проходят через середину дуги BC окружности (ABC) по лемме о Трезубце и в силу того, что эти серединные перпендикуляры совпадают с серединными перпендикулярами к BIa и CIa. Осталось лишь доказать, что серединный перпендикуляр к XY проходит через эту же точку.
Подсказка 4
Для этого отложим на продолжении отрезка XIa за Х такую точку I’, что XI’ = r и подумаем о треугольнике IaI’I.
Из условия сразу следует, что 
. Кроме этого, если 
— центр вписанной окружности, то 
. Из этих равенств сразу
следует, что 
. Поскольку прямая 
— внешняя биссектриса угла 
, угол 
, и
поэтому
Таким образом, 
и 
. Это значит, что четырехугольник 
— равнобедренная трапеция. Поэтому
серединный перпендикуляр к отрезку 
совпадает с серединным перпендикуляром к отрезку 
. Последний по лемме о трезубце
проходит через середину 
дуги 
описанной окружности треугольника. Аналогично, через 
проходит и серединный перпендикуляр
к отрезку 
Осталось понять, почему через 
проходит серединный перпендикуляр к отрезку 
. Отметим на продолжении
отрезка 
за точку 
такую точку 
, для которой 
. Иными словами, 
— прямоугольный треугольник с
прямым углом при вершине 
. По уже упоминавшейся лемме о трезубце, точка 
— середина его гипотенузы 
.
Следовательно, она лежит на серединном перпендикуляре 
совпадающем с серединным перпендикуляром к отрезку
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
