Планиметрия на Питергоре
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Окружность, вписанная в треугольник 
касается стороны 
в точке 
Отрезок 
повторно пересекает окружность в точке
Точки 
и 
на окружности таковы, что 
и 
Докажите, что прямая, соединяющая центры вписанных окружностей
треугольников 
и 
перпендикулярна биссектрисе угла 
Источники:
Подсказка 1
Кажется, чтобы решать задачу стало проще надо рассмотреть несколько вспомогательных точек: Обозначим за I₁ и I₂ центры вписанных окружностей, также отметим точки касания вписанной окружности сторон AB и BC (точки X и Y).
Подсказка 2
Теперь, кажется, можно воспользоваться свойством касательных и попытаться доказать подобие треугольников BXE и BDX. С помощью аналогичных соображений для другого треугольника, можно доказать, что EX : XD = EY : ED.
Подсказка 3
Ну а теперь, наконец-то воспользуйтесь леммой о трезубце!
Пусть 
и 
— точки касания вписанной окружности треугольника 
со сторонами 
и 
coответственно, а точки 
и 
—
центры вписанных окружностей треугольников 
и 
Известно, что касательная, параллельная хорде, проходит через середину
дуги, которую стягивает хорда.
Из чего следует, что точка 
лежит на прямой 
а точка 
— на прямой 
По свойству касательной 
поэтому треугольники 
и 
подобны и имеет место равенство 
И по аналогичным соображениям
Но 
а значит,
Далее заметим, что по лемме о трезубце для треугольников 
и 
получаем, что 
и 
соответственно.
Подставляя в последнее равенство, получаем, что
откуда 
Но нам известно, что 
перпендикулярен биссектриссе угла 
Тогда из параллельности биссектриса
перпендикулярна и 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
