Планиметрия на Питергоре

Решение 1.

Отметим сначала полезное свойство касающихся окружностей, а потом перейдём к решению задачи. Если секущая проходит через точку касания двух окружностей, то вписанные углы, опирающиеся на высекаемые ей дуги, равны. Действительно, поскольку вписанный угол равен углу между касательной и секущей, имеем равенство

Теперь перейдем к решению задачи. Пусть — основание биссектрисы угла Точки и симметричны относительно прямой поэтому и треугольники и равны. Из касания окружностей в точке имеем равенство поэтому четырёхугольник вписанный. Из касания окружностей в точке имеем равенство значит, четырёхугольник также вписанный. Отметим, что описанные окружности четырёхугольников и равны, поскольку они являются описанными окружностями равных треугольников и Хорды и этих окружностей лежат напротив углов и Поскольку равны углы, эти хорды также равны.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Решение 2.

Рассмотрим гомотетию с центром переводящую окружность, проходящую через вершину и касающуюся в точке в окружность Эта гомотетия переводит точку в точку а точка — в точку вторичного пересечения прямой, параллельной и проходящей через с окружностью Тогда точки лежат на одной прямой. Аналогично точки тоже лежат на одной прямой. Рассмотрим прямую С одной стороны, она является биссектрисой угла поскольку — середина дуги С другой стороны, угол опирается на диаметр, значит, он прямой и не только биссектриса, но и высота треугольника Тогда — серединный перпендикуляр к поэтому