Планиметрия на Питергоре
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В неравнобедренном треугольнике 
проведена биссектриса 
Точка 
— центр вписанной окружности треугольника 
Серединный перпендикуляр к отрезку 
пересекает окружность, описанную около треугольника 
в точках 
и 
Точка 
на отрезке 
выбрана так, что 
Докажите, что точки 
и 
лежат на одной
окружности.
Подсказка 1.
Так как в задаче фигурирует окружность AIC, стоит подумать о её центре и о том, как он связан с описанной окружностью ABC. В этом вам поможет лемма о трезубце.
Подсказка 2.
Обозначим через M середину меньшей дуги AC описанной окружности. Когда определяется середина дуги и основание биссектрисы, возникают стандартные подобия. Попробуйте найти их.
Подсказка 3.
Например, рассматриваем треугольники AMB₁ и BMA. Тогда можно получить, что MA² = MB₁ · MB. Из-за леммы о трезубце у нас есть много отрезков, равных MA, а значит, можно найти несколько аналогичных подобий и вывести несколько равенств углов. Попробуйте связать их с искомой вписанностью.
Также можно воспользоваться другим подходом. Для этого попробуйте придумать дополнительное построение, которое сведет задачу к проверке вписанности другого четырехугольника, которая, в свою очередь, будет доказываться через степень точки.
Обозначим через 
середину дуги 
описанной окружности треугольника 
не содержащей точку 
Тогда точка 
лежит на
прямой 
и по лемме о трезубце равноудалена от точек 
и 
поэтому 
лежит на отрезке 
и является центром описанной
окружности треугольника 
Следовательно, 
Так же заметим, что 
в силу подобия
треугольников 
и 
.png)
Наконец, приведем два способа доказательства требуемого.
Первый способ. По уже обозначенным равенствам 
что влечет равенство углов 
и 
.png)
Аналогично имеем равенство углов 
и 
Осталось заметить, что в силу симметрии и уже обозначенных равенств
углов
следовательно, несмежные углы 
и 
в четырехугольнике 
в сумме дают 
что влечет его вписанность.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Второй способ. Пусть 
– точка, симметричная 
относительно 
Тогда
следовательно, точки 
лежат на одной окружности.
.png)
Осталось заметить, что данная окружность переходит в себя под действием симметрии относительно серединного перпендикуляра к
но 
переходит в 
следовательно, также лежит на этой окружности.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Замечание. Точка 
является 
-точкой Шалтая треугольника 
Она определяется как точка пересечения окружностей,
проходящих через 
и касающихся стороны 
в точках 
и 
соответственно. Условие исходной задачи может быть
переформулировано так:
Точка, симметричная точке Шалтая треугольника, лежит на его описанной окружности.
.png)
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
