Планиметрия на Питергоре

Прежде всего, обозначим середину отрезка через а окружность, проходящую через и — через

Поскольку для решения задачи достаточно доказать неравенство (и, аналогично,

Это неравенство следует из удивительного факта: расстояние от точки до прямой равно в точности Докажем его двумя способами: в обоих мы обнаружим на окружности ещё одну точку.

Решеение 1.

Пусть точка симметрична вершине относительно прямой Проверим,

что она лежит на окружности Для этого достаточно проверить, что В самом деле,

последнее равенство следует из вписанности четырехугольника

Таким образом, центр окружности должен лежать на серединном перпендикуляре к её хорде Значит, расстояние от до равно расстоянию между этим серединным перпендикуляром и прямой то есть между серединами отрезков и Оно в два раза меньпе, чем расстояние от до т. е. равно

Решение 2.

Отметим такую точку что Пусть тогда

С другой стороны, медиана прямоугольного треугольника равна и 3начит, Итак, и Следовательно, четырехугольник — равнобедренная трапеция, так что лежит на окружности т. е. на

Поскольку центр лежит на серединном перпендикуляре к расстояние от него до равно что и требовалось.