Планиметрия на Питергоре

Решение 1.

Пусть луч пересекает описанную окружность в точке — середине дуги Заметим, что

Следовательно, описанная окружность треугольника проходит через точку Кроме того, прямой, поэтому прямая содержит диаметр этой окружности. Пусть прямая пересекает этот диаметр в точке а прямая пересекает его в точке

Для решения задачи требуется установить, что Пусть и — центр и радиус этой окружности. Точка обладает известным свойством: Поэтому нам осталось проверить, что

Обозначим

Тогда Это означает, что треугольник и подобны и

Решение 2.

Как и предыдущем решении, докажем, что Для этого достаточно проверить, что

Мы докажем, что обе эти четвёрки гармонические. Заметим, что четырёхугольник гармонический, так как касательные в точках и пересекаеются на Проецируя эту четвёрку точек из точки на прямую получим С другой стороны, проецируя четвёрку из точки на прямую получим

где — бесконечно удалённая точка направления Осталось заметить, что, так как — середина дуги а — середина отрезка прямая — серединный перпендикуляр к основанию вписанной трапеции Следовательно, — середина отрезка и