Теория чисел на ИТМО
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Обозначим за 
число натуральных делителей числа 
(включая единицу и само число). Найдите все такие 
что
Источники:
Подсказка 1
Так как n представимо как 33 * d(n), то, не мудрствуя лукаво, легко понять, что n делится на 3 и на 11. Зная эти факты, можем записать, как будет выглядеть число n в разложении на простые множители.
Подсказка 2
Зная информацию из подсказки 1 и равенство из условия можно записать несколько уравнений. Подставив одно в другое, можно понять, что 3 и 11 могут входить в состав числа n только в очень маленьких степенях.
Подсказка 3
Да! Действительно. Пусть в состав числа n 3 входит в степени l, а 11 в степени k. Тогда надо разобрать всего 2 случая: k = l = 1; k = 1, l = 2. Осталось только аккуратно рассмотреть, что получается в этих случаях и какие из них реализуются.
Очевидно, 
делится на 
и на 
Разложим 
в произведение степеней простых чисел:
Тогда
Разделив 
на 
получим
Заметим, что все дроби в этом произведении, кроме первых двух, гарантированно не меньше 
(равенство достигается только в случае
). Тогда как минимум одна из первых двух дробей не превосходит единицы, как и их произведение.
Вторая дробь не превосходит единицы только при 
В этом случае она равна 
Первая же дробь может быть равна как 
при 
так и 
при 
При этом при 
вторая дробь составляет как минимум 
а при 
первая дробь составляет как миниумм 
И то и другое больше двух, что делает произведение дробей больше
единицы.
Осталось разобрать два случая: 
и 
В первом случае и первая, и вторая дробь равны 
а их
произведение составляет 
Значит, произведение остальных должно быть равно 
Множитель 
в числителе может
получиться только одно из оставшихся простых чисел равно 
Рассмотрим дроби вида 
которые не превосходят 
это
:
Нас устраивают только дроби, у которых после сокращения в числителе остаётся хотя бы 
Если мы используем дробь 
нам
понадобиться ещё один множитель 
в числителе, которого у нас нет, если же возьмём 
нам понадобится ещё дробь с 
в числителе,
то есть минимум 
что уже даёт слишком большое произведение.
Во втором случае первая дробь равна 
а вторая равна 
Значит, произведение остальных должно быть равно 
Мы можем
добавить к ним только 
и получить единицу в качестве произведения.
Значит,
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
