Теория чисел на ИТМО
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Докажите, что число 
при нечётном 
раскладывается в произведение хотя бы четырёх (не обязательно различных)
натуральных чисел, больших единицы.
Источники:
Подсказка 1
Нам нужно найти числа, на которые делится наше выражение. Попробуйте рассмотреть маленькие числа: на 2 выражение не делится, а на 3?
Подсказка 2
Верно, оно делится на 3, но что насчёт каких-нибудь степеней тройки? Рассмотрите наше выражение по модулю 9. Не забудьте, что каждое из слагаемых в нечётной степени.
Подсказка 3
О, оно делится на 9, здорово. Теперь надо найти ещё какой-нибудь делитель. Мы знаем, что одно из трёх слагаемых делится на 17. А кратна ли 17 сумма остальных двух слагаемых?
Подсказка 4
Попробуйте доказать, что a^m+b^m кратно a+b при нечётном m. Тогда доказать делимость на 17 будет совсем просто:) Вот, у нас есть уже три множителя, а четвёртый можно явно не искать, достаточно показать, что он будет больше единицы.
делится на 
а значит то же самое выполняется и для суммы любых нечётных степеней. Это верно, т.к. 
на
при нечётном 
По-другому можно это доказать так: 
значит 
т.к. 
нечётно.
Теперь рассмотрим остатки по модулю 
делится на 
в нечётной степени даёт при делении на 
остаток 
, а в чётной -
остаток 
Число 
даёт остаток 
при делении на 
а значит и любая нечётная степень куба даёт такой же остаток. Таким образом,
сумма 
делится на 
Мы получили уже три множителя: 
Кроме того 
поэтому есть хотя бы ещё один
делитель.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
