Показатели и первообразные корни
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите все натуральные 
такие, что число 
является квадратом целого числа.
Подсказка 1.
Приравняв выражение к x², получаем уравнение в натуральных числах. Какой приём зачастую спасает в таких ситуациях?
Подсказка 2.
Разложение на множители! Оставляйте в левой части разности, которые потенциально могут разложиться на скобочки, и постарайтесь вывести как можно больше условий.
Подсказка 3.
Из разложения 3ⁿ−2ⁿ выведите, что n — степень двойки, предположив, что есть простой нечётный делитель.
Подсказка 4.
Теперь уже хочется получать противоречие со степенью вхождения двойки в разные части уравнения. Для начала найдите степень вхождения двойки в 3ⁿ−1.
Подсказка 5.
Изучите степень вхождения двойки в x, рассмотрев разложение 3ⁿ−x².
Пусть 
Предположим, что у 
есть некоторый нечетный простой делитель 
Тогда
При этом 
Тогда у этого числа есть простой делитель 
иначе 
Но такого не может
быть, так как тогда 
Тогда если 
= 
: 
является делителем 4, но не является делителем 2.
Тогда 
и 
делится на 
— противоречие. Значит, 
для некоторого натурального 
Тогда
Рассмотрим произвольный простой делитель 
числа 
. Тогда 
а 
То есть показатель 2 по
модулю 
делит 
но не делит 
Тогда он равен 
откуда 
Тогда обе скобки 
и 
сравнимы с 1 по модулю 
откуда
делится на 
то есть 
делится на 
С другой стороны
то есть 
что меньше чем 
при 
Тогда при 
имеем
откуда 
— противоречие. Осталось лишь проверить, что 
подходят.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
