Показатели и первообразные корни

При число Предположим, что при некотором число будет простым. Если число — нечетное, то целое число заведомо будет четным. Тогда откуда что выполняется только при а при (легко доказать по индукции).

Если число — четное, то где нечетное, иначе не будет целым. Тогда откуда Для Значит, где — наименьшее число такое, что Тогда

Если простое, то Значит, Тогда

Если составное, то тогда

Где число и при этом следовательно будет составным.

Значит, — простое. Пользуясь круговыми многочленами, сможем показать, что

где — круговой многочлен. где примитивные корни степени из И если имеет простой делитель отличный от то будет делителем но не И тогда как минимум будет содержать в произведении то есть не будет простым. Тогда — простое нечетное, а для некоторого натурального Тогда

Тогда по простому модулю число Противоречие. Значит, — составное.