Показатели и первообразные корни

Ясно, что не кратно а значит Аналогично и то есть и различные.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Докажем теперь следующую лемму: если — такие различные простые числа, что делит и то либо кратно либо кратно

Из условия леммы следует, что сравнимо с по модулю но не сравнимо с поскольку Следовательно, Получаем, что кратно и не кратно Поскольку — простое, это возможно лишь когда или Если верно второе, то кратно В первом же случае получим, что кратно Лемма доказана.

_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Начнём решение со случая, когда и нечётны. Поскольку делит по лемме либо кратно либо кратно Но первый случай невозможен, поскольку сравнение влечёт за собой сравнения то есть что противоречит нашему предположению. Следовательно, делит Простое число нечётно, a и чётны. Значит, одно из чисел или кратно Отсюда следует, что Аналогично и противоречие.

Значит, среди чисел есть хотя бы одна двойка. Поскольку при циклической перестановке ничего не изменится, можно положить, что Теперь делит тогда по лемме либо делит либо кратно Но первый случай невозможен, поскольку делит и Следовательно, кратно По условию кратно Ранее мы заключили, что откуда то есть