Показатели и первообразные корни
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Докажите, что сравнение 
имеет решение тогда и только тогда, когда простое 
Подсказка 1
Пусть x⁴ сравнимо с -1 по модулю p. Обозначим через s показатель x по модулю p. Что можно сказать про s?
Подсказка 2
Конечно! Тогда x⁸ сравнимо с 1, и поэтому s делит 8. Чему равно s?
Подсказка 3
Верно! s = 8, а из малой теоремы Ферма s делит (p-1). Какой вывод можно сделать?
Подсказка 4
Теперь в обратную сторону. Любое число в степени 8k сравнимо с 1 по модулю p, поскольку p простое. Тогда любое число в степени 4k сравнимо с 1 или -1 по модулю p. А какое число можно возвести в степень 4k, чтобы наверняка получить -1?
Пусть для некоторого 
имеет место сравнение 
Тогда 
Пусть 
Заметим, что 
Если
то сравнение 
не выполняется, откуда получаем, что 
Так как 
(по малой теореме
Ферма), то 
тогда 
откуда и получаем 
Обратно, предположим, что 
Пусть 
— первообразный корень по модулю 
Поскольку 
легко видеть, что из
сравнения 
следует, что 
(в случае 
получаем противоречие с тем, что 
—
первообразный корень). В качестве решения 
берем 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
