Показатели и первообразные корни

Для начала покажем, что вычетов пятой степени ровно по модулю

Пусть первообразный корень по модулю Тогда все ненулевые остатки можно записать как Так как первообразный корень, то если пятые степени каких-то остатков совпадают, то кратно то есть кратно значит, все остатки разбиваются на групп по чисел, пятые степени которых дают одинаковый результат по модулю

Все эти остатки пятой степени можно записать как Сумма всех этих остатков равна

Значит, если остатки чисел при делении на различны, то это все остатки пятой степени, а, значит, по доказанному ранее сумма пятых степеней этих чисел равна нулю по модулю Воспользуемся следующей формулой

которую можно доказать по индукции. Если это выражение равно нулю по модулю то кратно Далее все сравнения по модулю

Тогда Нетрудно проверить, что такое действительно подходит.