Стереометрия на ИТМО

Пусть — центр описанной окружности треугольника , лежащий на — центр сферы. Очевидно, — середина . Так как точки и лежат на сфере, перпендикулярно плоскости . С другой стороны, и — это одна и та же прямая, а перпендикулярна плоскости . Значит, плоскости и параллельны, а тетраэдры и подобны.

Пусть — длина , то есть высота маленького тетраэдра. Высота большого тетраэдра равна , а коэффициент их подобия .

- прямоугольный треугольник с прямым углом , значит, радиус описанной окружности треугольника , то есть , равен

Как известно, среди всех треугольников, вписанных в данную окружность, наибольшую площадь имеет равносторонний. Для окружности радиуса эта площадь составляет

Значит, объемы тетраэдров составляют

и

а их произведение равно

Чтобы максимизировать эту величину, достаточно максимизировать

В первой точке достигается минимум, равный нулю, а во второй — максимум. Подставив в формулу для объёма, получим