Тема . ИТМО (Открытка)

Неравенства на ИТМО

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела итмо (открытка)

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#68707

Для произвольных вещественных чисел $x,y,z,t,$ больших $7$ , докажите неравенство:

∘-------------------- 2 2 2 2 4⋅ (x− 3)(y− 4)(z− 5)(t− 6)< (x − 2) + (y− 5) +(z− 7) + (t− 4)

Источники: ИТМО-2023, 11.5 (см. olymp.itmo.ru)

Показать доказательство

По неравенству о среднем арифметическом и среднем геометрическом

4∘ -------------------- (x−-3)+(y−-4)+(z−-5)+(t− 6) (x − 3)(y − 4)(z− 5)(t− 6)≤ 4

Отсюда

∘ -------------------- (x +y+ z+ t− 18)2 4 ⋅ (x− 3)(y− 4)(z − 5)(t− 6)≤-----4-------

При этом, чтобы это равенство обращалось в равенство, должно выполняться $x − 3 =y − 4= z− 5= t− 6.$

По неравенству о среднем арифметическом и среднем квадратичном

∘ ----------------------------- (x−-2)+(y−-5)+(z−-7)+(t− 4)≤ (x− 2)2+-(y-− 5)2+(z−-7)2+-(t− 4)2 4 4

Отсюда

(x +y +z+ t− 18)2 -------4-------≤ (x− 2)2+ (y− 5)2+(z− 7)2+ (t− 4)2

При этом, чтобы это равенство обращалось в равенство, должно выполняться $x − 2 =y − 5= z− 7= t− 4.$

Таким образом,

-------------------- 2 4⋅∘ (x − 3)(y− 4)(z− 5)(t− 6)≤ (x+-y+-z+t−-18) ≤(x− 2)2 +(y− 5)2+ (z − 7)2+(t− 4)2 4

При этом оба неравенства не могут обращаться в равенство одновременно, следовательно

4⋅∘(x−-3)(y−-4)(z−-5)(t− 6)< (x − 2)2+ (y− 5)2 +(z− 7)2+ (t− 4)2

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse