Неравенства на ИТМО

Рассмотрим первые две скобки и заметим, что

Тогда мы можем переписать требуемое неравенство в виде

Теперь зафиксируем и и будем сдвигать и друг к другу. При этом увеличивается, и достигает максимума при остальные части выражения остаются постоянными. Значит, требуемое равенство будет следовать из неравенства, полученного подстановкой в него то есть

Обозначим тогда неравенство превращается в

Взяв производную, можно убедиться, что минимум левой части достигается при и равен что доказывает требуемое неравенство. (таким образом, минимум исходного выражения достигается при )