Тема Иннополис (Innopolis Open)

Стереометрия на Иннополисе

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела иннополис (innopolis open)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#68878

B пространстве даны четыре попарно неравных и попарно параллельных отрезка $AB , i i$ $i∈ {1,2,3,4}.$ Докажите, что точки пересечения продолжений боковых сторон шести трапеций $AiBiAjBj(1≤i< j ≤ 4)$ лежат в одной плоскости.

Источники: Иннополис-2023 (см. dovuz.innopolis.university)

Показать доказательство

Обозначим через $O ij$ точку пересечения боковых сторон трапеции $AiBiAjBj.$ Тогда точка $Oij$ является центром гомотетии с положительным коэффициентом, переводящей отрезок $AiBi$ в отрезок $AjBj.$ По теореме о трех центрах гомотетии (теорема о трёх колпаках) точки $Oij,Ojk,Oki$ лежат на одной прямой. Обозначим эту прямую через $lijk$ и докажем, что все такие прямые лежат в одной плоскости.

$PIC$

Для этого будем последовательно рисовать их. Сначала проведем прямые $l123$ и $l124 :$ они лежат в одной плоскости $π,$ т.к. пересекаются в точке $O12.$ Прямая $l134$ пересекает $l123$ в точке $O13,$ а прямую $l124$ — в точке $O14,$ поэтому она также лежит в плоскости $π.$ Наконец, прямая $l234$ пересекает прямую $l123$ в точке $O23,$ а прямую $l124$ — в точке $O24,$ так что и она лежит в плоскости $π.$