Стереометрия на Иннополисе
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
B пространстве даны четыре попарно неравных и попарно параллельных отрезка 
Докажите, что точки пересечения
продолжений боковых сторон шести трапеций 
лежат в одной плоскости.
Источники:
Подсказка 1
В нашей задаче фигурирует точка пересечения продолжений боковых сторон трапеции. Как мы знаем, эта точка является центром положительной гомотетии, переводящей одно основание трапеции в другое. Какую теорему хочется применить?
Подсказка 2
Конечно, теорему о трех колпаках! Обозначим за O₁₂ точку пересечения боковых сторон трапеции A₁B₁A₂B₂ (остальные точки аналогичным образом). Тогда O₁₂, O₂₃ и O₁₃ лежат на одной прямой (обозначим ее L₁₂₃, а другие аналогичным образом). А что будет, если рассмотреть точки O₁₂, O₂₄ и O₁₄?
Подсказка 3
Мы знаем, что они лежат на прямой L₁₂₄. При этом, на ней также есть точка O₁₂, поэтому прямые L₁₂₃ и L₁₂₄ лежат в одной плоскости П, т.е. точки O₁₂, O₂₃, O₁₃, O₁₄, O₂₄ лежат в П. Осталось лишь доказать, что точка O₃₄ лежит в этой плоскости...
Подсказка 4
Рассмотрите прямую L₁₃₄ и завершите доказательство!
Обозначим через 
точку пересечения боковых сторон трапеции
Тогда точка 
является центром гомотетии с положительным коэффициентом, переводящей отрезок 
в отрезок
По теореме о трех центрах гомотетии (теорема о трёх колпаках) точки 
лежат на одной прямой. Обозначим эту
прямую через 
и докажем, что все такие прямые лежат в одной плоскости.
Для этого будем последовательно рисовать их. Сначала проведем прямые 
и 
они лежат в одной плоскости 
т.к.
пересекаются в точке 
Прямая 
пересекает 
в точке 
а прямую 
— в точке 
поэтому она также лежит в
плоскости 
Наконец, прямая 
пересекает прямую 
в точке 
а прямую 
— в точке 
так что и она лежит в
плоскости 
Итак, все четыре прямые лежат в одной плоскости, и в ней же лежат все шесть точек 
что и требовалось доказать.
