Теория чисел на Иннополисе
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Назовём бесконечную числовую последовательность 
стабилизирующейся, если при некотором 
для всех 
выполнено
Тогда 
назовем временем стабилизации, 
при 
— стабильным значением.
Пусть 
— натуральные числа. Дана последовательность 
в которой
и для любого натурального 
выполнены равенства
здесь 
— это операция взятия целой части при делении на 
и
здесь 
— операция взятия остатка от деления на 
Какие из последовательностей 
стабилизируются, и чему равны их стабильные значения? Чему равно
время стабилизации последовательности 
Источники:
Подсказка 1
Давайте посмотрим, что нам известно из условия? Получается, основная последовательность {Xn} разделяется на три подпоследовательности. Причём первые две, похоже, зависят только от тех элементов основной последовательности, что входят в эту подпоследовательность. Может, для начала рассмотрим их повнимательнее?
Подсказка 2
Верно, мы можем выразить элементы этой последовательности через a, b и n. Третья же подпоследовательность зависит от элементов из других подпоследовательностей, так что здесь так просто не получится расписать. Тогда стоит попробовать выразить x{3n+3} с помощью x{3n+1} и x{3n+2}. Например, записать какое-нибудь равенство с этими тремя переменными.
Подсказка 3
Для составления такого уравнения очень полезно начать с расписывания первых элементов и постепенно находить отношения, которые остаются неизменными. А затем доказать их по индукции
Подсказка 4
Остаётся только проанализировать, при каких значениях b каждая из подпоследовательностей стабилизируется и на каком стабильном значении
Сначала рассмотрим последовательность 
По ее определению имеем 
для всех целых 
— значит, при 
ее
стабильное значение равно 
а при 
она не стабилизируется.
Теперь рассмотрим 
По определению, если 
то 
для всех целых 
а если 
то 
и,
поскольку последовательность — целочисленная, имеем 
для всех 
начиная с 
(целая часть от логарифма, взятая с
избытком).
Докажем по индукции, что
для всех целых 
База индукции 
по определению.
Индукционная гипотеза: пусть для некоторого 
выполнено
Тогда
Что и требовалось доказать.
Наконец, рассмотрим последовательность 
. В силу доказанного выше, если 
, то все члены последовательности 
равны
, а если 
, то
начиная с 
следовательно, стабильное значение последовательности 
равно 
Последовательность 
стабилизируется на 
при 
стабилизируется на 
при 
и на 
при 
стабилизируется на 
при 
начиная с 
и на 
при 
начиная с 
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
