Планиметрия на Иннополисе
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан треугольник 
. Существует единственный набор таких трёх окружностей 
и 
, которые лежат внутри треугольника,
попарно друг друга касаются, а также каждая из них касается сторон соответствующего угла: 
касается сторон 
и 
касается сторон 
и 
касается сторон 
и 
.
Обозначим точку касания окружностей 
и 
как 
. Аналогично определяются точки 
и 
.
Дизайнер хочет сконструировать люстру-витраж из цветного стекла, в которой стороны треугольника 
- это прочный
(пренебрежимо) лёгкий контур, в который вписан массивный плоский диск весом 1 кг, а также добавлены уравновешивающие веса в
вершинах 
и 
треугольника так, чтобы точка подвеса люстры находилась на пересечении отрезков 
и 
(остальные детали люстры имеют пренебрежимо малый вес). Докажите, что такой проект люстры осуществим и определите
уравновешивающие веса в вершинах (то есть такие, чтобы люстра висела горизонтально, закреплённая только в точке подвеса), если
радиусы окружностей 
- это 
, а радиус вписанного диска треугольника равен 
.
Источники:
Обозначим массы в вершинах 
и 
соответственно как 
и 
. Докажем, что массы 
подходят.
Покажем, что центр масс системы нагруженных точек 
кг) находится в точке 
- центре окружности
(см. рисунок). Из подобия соответствующих прямоугольных треугольников вытекает, что 
. Тогда
. Чтобы точка 
была центром масс указанных точек, по правилу рычага, должно выполняться
. Подставив указанное значение для 
, легко видеть, что правило рычага выполняется и для пары точек
(и центра масс 
), и для пар точек 
и 
с центрами масс 
и 
соответственно.
Тогда, пользуясь принципом перегруппировки масс, имеем, что центр масс системы точек 
и
совпадает с центром масс системы точек 
, что совпадает с центром масс системы
.
Но 
. Аналогично, 
и 
. Значит, указанная система нагруженных точек
переписывается в виде 
.
Окружности 
и 
, по выбору, касаются. Значит, отрезок 
равен по длине 
и делится точкой 
на
части длины 
и 
. Но тогда для точек 
и точки 
выполняется равенство 
.
Значит, 
- центр масс системы из этих двух точек, а значит, центр масс изначальной системы 
и 
,
после перегруппировок, совпадает с центром масс системы двух точек: 
. Как следствие, этот центр масс
лежит на отрезке 
. По абсолютно аналогичным причинам, центр масс изначальной четвёрки нагруженных точек
лежит также на отрезках 
и 
. Таким образом, выбранные веса 
удовлетворяют требованию
задачи.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
