Симметрические многочлены
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть 
— взаимно простые в совокупности натуральные числа, и
Найдите все возможные значения 
где 
натуральное число, кратное 3. Запись 
обозначает наибольший общий
делитель целых чисел 
Целые числа 
называются взаимно простыми в совокупности, если
Источники:
Подсказка 1
А давайте для начала попробуем ручками проверить различные a, b, c - чтобы понять, каким вообще может быть D.
Подсказка 2
Пупупу… а теперь посмотрим внимательно на условие. Каким свойством обладают скобки вида: (aⁿ + bⁿ + cⁿ)?
Подсказка 3
Да, эти скобки симметричны! Если поменять какие-то две переменные местами, то выражение не изменится. А теперь, учитывая, что мы получили какие-то значения D - попробуйте перейти к симметрическим многочленам. К какому противоречию мы придём?
Подсказка 4
Верно, мы придём к тому, что существует какое-то просто p, которое делит произведение abc. Теперь нужно аккуратно доказать, что в таком случае простое p делит каждое из чисел a, b, c! Тогда, мы докажем, что возможны только D = {1, 2, 3, 6}.
Подсказка 5
Остаётся только привести пример чисел a, b, c для каждого возможного D!
Пусть 
— элементарные симметрические многочлены и
Воспользуемся формулой Ньютона
Докажем, что 
Предположим, что существуют такие взаимно простые в совокупности 
, что 
отличен от
Докажем, что тогда 
имеют общий делитель, больший 1. В самом деле, из формул Ньютона следует, что при разложении
через 
моном, не содержащий 
и 
с точностью до знака имеет вид 
Поэтому если 
делит 
и 
делит 
то 
делит 
При 
отличном от 
у чисел 
есть общий делитель, больший 1. Пусть 
— простой множитель, входящий в этот
делитель. Тогда 
делит 
откуда (без ограничения общности) 
делит a. Но тогда 
делит 
и 
делит 
т.е. (без
ограничения общности) 
делит 
Наконец, из того, что 
делит 
получаем, что 
делит 
Значит, 
но по
условию 
— противоречие.
Итак, 
Набор 
реализует 
набор 
— 
набор 
— 
Для 
возьмем
простое число 
и положим 
Тогда 
и 
не делит 
откуда
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
