Тема . Многочлены

Симметрические многочлены

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела многочлены

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#71961

Зафиксируем 10 натуральных чисел $n ,n ,...,n 1 2 10$ и обозначим через $n$ их сумму $n= n + ⋅⋅⋅+ 1$ $n . 10$ Предположим теперь, что на доске в строчку записаны $n$ чисел $a1,...,an,$ каждое из которых равно либо 0, либо 1. Эти числа (в том порядке как они записаны) разбивают на 10 групп:

a◟1,..◝.,◜an1◞,a◟n1+1,..◝.◜,an1+n2◞,...,a◟n1+⋅⋅⋅n9◝+◜1,...,an◞ n1 n2 n10

Группу назовем ненулевой, если в ней содержится хотя бы одна 1. В результате разбиения, в зависимости от того какие числа $a,...,a 1 n$ были взяты изначально, можно получить то или иное число ненулевых групп. Нас будут интересовать такие наборы $a ,...,a , 1 n$ которые при указанном разбиении дают четное число ненулевых групп. Докажите, что число таких наборов $a1,...,an$ (где ненулевых групп будет четно) находится по формуле:

n−1 1 n n n 2 +2 ⋅(2 1 − 2)⋅(2 2 − 2)⋅...⋅(210 − 2)

Источники: Межвед-2022, 11.6 (см. www.academy.fsb.ru)

Показать доказательство

Искомое число наборов посчитаем, суммируя количество наборов с заданным числом $k$ ненулевых групп:

При $k= 0$ такой набор единственный;
При $k= 2$ их $∑ ni nj 1≤i<j≤10(2 − 1)⋅(2 − 1);$
При $k= 4$ уже $∑ ni nj nl ns 1≤i<j<l<s≤10(2 − 1)⋅(2 − 1)⋅(2 − 1)⋅(2 − 1);$
$...$
При $k= 10$ в итоге $(2n1 − 1)⋅(2n2 − 1)⋅...⋅(2n10 − 1).$

Определим многочлены

σ (x ,...,x )= 1 0 1 10

σk(x1,...,x10)= ∑ xi⋅...⋅xi ,1 ≤k ≤10 1≤i1<⋅⋅⋅<ik≤10 1 k

Как известно из правила раскрытия скобок, такая сумма всевозможных многочленов это сумма по всем наборам и она равна

∑ 0≤k≤10σk(x1,...,x10)= (x1+1)⋅...⋅(x10+ 1),

Если мы сложим эту сумму с суммой таких же многочленов от отрицательных аргументов, то многочлены с нечётными индексами взаимноуничтожатся:

∑ σk(x1,...,x10)+ ∑ σk (−x1,...,−x10) = 0≤k≤10 0≤k≤10

∑ = 2 . σk (x1,...,x10) 0≤k≤10,k..2

Используем полученные результаты:

∑ n n 2N = 2 ..σk (2 1 − 1,...,2 10 − 1)= 0≤k≤10,k .2

n1 n10 n1 n10 =(2 − 1 +1)⋅...⋅(2 − 1+1)+ (− (2 − 1)+1)⋅...⋅((−2 − 1)+ 1)

2N =2n1+...+n10 + (−2n1 + 2)⋅...⋅(−2n10 + 2)

что и требовалось:

N =2n−1+ 1⋅(2n1 − 2)⋅...⋅(2n10 − 2) 2

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Симметрические многочлены

Специальные программы

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ