Симметрические многочлены

Докажем, что определитель Вандермонда равен с точностью до знака определителю матрицы на рисунке ниже. Легко видеть, что определитель данной матрицы является кососимметрическим многочленом относительно по свойству определителя (так как определитель матрицы с двумя равными строчками равен ). Тогда определитель делится на определитель Вандермонда. С другой стороны степени этих однородных многочленов равны, а также равны с точностью до знака коэффициенты при То есть определитель Вандермонда равен определителю матрицы на рисунке с точностью до знака. Но по формуле определителя легко видеть, что каждое слагаемое действительно будет входить с коэффициентом или в данный многочлен. То есть мы получили требуемое.